Question
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Esercizio 1. Si costruisca, se possibile, un endomorfismo di che abbia come nucleo il
sottospazio
e come immagine il sottospazio
calcolando esplicitamente la sua espressione

Ask by Alexander Bolton. in Italy
Jan 22,2025

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Answer

Un’espressione esplicita dell’endomorfismo è:

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Beyond the Answer

Per costruire un endomorfismo con il nucleo e l’immagine , dobbiamo prima determinare delle basi per entrambi i sottospazi e poi utilizzare queste basi per definire .

Nucleo

Le equazioni che definiscono sono:
Possiamo risolvere queste equazioni. Dalla seconda equazione otteniamo . Sostituendo questo nella prima, otteniamo:
Così possiamo esprimere gli elementi di in termini di :
Scegliamo e :
Scegliamo ora :

Immagine

Le equazioni che definiscono sono:
Dalla seconda equazione otteniamo . Sostituendo nella prima:
Quindi, expressiamo gli elementi di in termini di e :
Scegliamo :
E ora :

Definizione di

Ora costruiamo un endomorfismo che manda la base di in quella di . Possiamo definirlo su 2 vettori in modo lineare:
Combinando, possiamo scrivere la matrice associata a :
Quindi, si espande come segue:

Risultato Finale

L’endomorfismo costruito ha come nucleo il sottospazio e come immagine il sottospazio , e la sua espressione è:

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