Esercizio 1. Si costruisca, se possibile, un endomorfismo $$ F $$ di $$ \mathbb{R}^{4} $$ che abbia come nucleo il sottospazio $$ U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-z+t=x+z+t=0\right\} $$ e come immagine il sottospazio $$ V=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y-z+t=x-y=0\right\} $$ calcolando esplicitamente la sua espressione $$ F(x, y, z, t) $$

Question

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Per costruire un endomorfismo $$ F: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 $$ tale che il suo nucleo sia il sottospazio $$ U $$ e la sua immagine sia il sottospazio $$ V $$, seguiamo questi passaggi:

### 1. Analisi dei Sottospazi

**Nucleo $$ U $$:**
$$ U = \left\{ (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + y - z + t = 0 \text{ e } x + z + t = 0 \right\} $$

Risolvendo il sistema:
$$
\begin{cases}
x + y - z + t = 0 \
x + z + t = 0
\end{cases}
$$
Otteniamo:
$$
x = -z - t, \quad y = 2z
$$
Quindi, ogni vettore in $$ U $$ può essere espresso come:
$$
U = \{ (-z - t, 2z, z, t) \mid z, t \in \mathbb{R} \}
$$
Questo implica che $$ \dim(U) = 2 $$.

**Immagine $$ V $$:**
$$ V = \left\{ (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x - 2y - z + t = 0 \text{ e } x - y = 0 \right\} $$

Risolvendo il sistema:
$$
\begin{cases}
x - 2y - z + t = 0 \
x - y = 0
\end{cases}
$$
Otteniamo:
$$
x = y, \quad t = y + z
$$
Quindi, ogni vettore in $$ V $$ può essere espresso come:
$$
V = \{ (y, y, z, y + z) \mid y, z \in \mathbb{R} \}
$$
Questo implica che $$ \dim(V) = 2 $$.

### 2. Costruzione dell'Endomorfismo $$ F $$

Definiamo $$ F $$ in modo tale che:

- **Nucleo di $$ F $$:** $$ F $$ annulla i vettori di $$ U $$.
- **Immagine di $$ F $$:** I vettori $$ F(v) $$ appartengono a $$ V $$.

**Scelta di una Base:**

- **Base per $$ U $$:**
  $$
  \mathbf{u}_1 = (-1, 2, 1, 0), \quad \mathbf{u}_2 = (-1, 0, 0, 1)
  $$
  
- **Base per il Complemento:** Scegliamo $$ \mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0) $$ e $$ \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0) $$.

- **Immagine di $$ \mathbf{e}_1 $$ e $$ \mathbf{e}_2 $$:**
  $$
  F(\mathbf{e}_1) = \mathbf{v}_1 = (1, 1, 0, 1), \quad F(\mathbf{e}_2) = \mathbf{v}_2 = (0, 0, 1, 1)
  $$

**Definizione di $$ F $$:**

Ogni vettore $$ \mathbf{x} = (x, y, z, t) $$ in $$ \mathbb{R}^4 $$ può essere scritto come combinazione lineare:
$$
\mathbf{x} = a\mathbf{u}_1 + b\mathbf{u}_2 + c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2
$$
Risolvendo:
$$
x = -a - b + c, \quad y = 2a + d, \quad z = a, \quad t = b
$$
Da cui:
$$
a = z, \quad b = t, \quad d = y - 2z, \quad c = x + z + t
$$
Quindi:
$$
F(\mathbf{x}) = c\mathbf{v}_1 + d\mathbf{v}_2 = (x + z + t)\mathbf{v}_1 + (y - 2z)\mathbf{v}_2
$$
Sviluppando:
$$
F(x, y, z, t) = (x + z + t, \ x + z + t, \ y - 2z, \ x + y + t - z)
$$

### 3. Verifica

- **Nucleo:** Se $$ F(x, y, z, t) = \mathbf{0} $$, allora:
  $$
  x + z + t = 0, \quad y - 2z = 0, \quad x + y + t - z = 0
  $$
  Il che implica esattamente le condizioni di $$ U $$.

- **Immagine:** Ogni vettore $$ F(x, y, z, t) $$ soddisfa le equazioni di $$ V $$:
  $$
  x' = y', \quad x' - 2y' - z' + t' = 0
  $$
  
### Risposta Finale

Un’espressione esplicita è

$$ F(x,y,z,t) =\, (x + z + t,\; x + z + t,\; y - 2 z,\; x + y + t - z) $$

ovvero

$$
F(x,y,z,t) = \left( x+z+t,\ x+z+t,\ y-2z,\ x+y+t-z \right)
$$
Un'espressione esplicita dell'endomorfismo $$ F $$ è: $$ F(x, y, z, t) = (x + z + t,\; x + z + t,\; y - 2z,\; x + y + t - z) $$

Esercizio 1. Si costruisca, se possibile, un endomorfismo di che abbia come nucleo il
sottospazio

e come immagine il sottospazio

calcolando esplicitamente la sua espressione

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Nucleo

Immagine

Definizione di

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