In un triangolo rettangolo l'ipotenusa è lunga 20 cm e fra gli angoli acuti $$ \beta $$ e $$ \gamma $$ vale la relazione $$ \sin \beta=2 \sin \gamma $$. Trova l'area del triangolo. $$ \left[80 \mathrm{~cm}^{2}\right] $$

Question

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Per determinare l'area del triangolo rettangolo con ipotenusa di 20 cm e la relazione $$ \sin \beta = 2 \sin \gamma $$, seguiamo i seguenti passaggi:

1. **Definizione degli Angoli:**
   In un triangolo rettangolo, la somma degli angoli acuti è $$ 90^\circ $$. Indichiamo con $$ \gamma = \theta $$ e quindi $$ \beta = 90^\circ - \theta $$.

2. **Relazione Trigonometrica:**
   Dalla relazione data:
   $$
   \sin \beta = 2 \sin \gamma \
   \sin(90^\circ - \theta) = 2 \sin \theta \
   \cos \theta = 2 \sin \theta
   $$
   Dividiamo entrambi i lati per $$ \cos \theta $$:
   $$
   1 = 2 \tan \theta \implies \tan \theta = \frac{1}{2}
   $$
   
3. **Rapporto dei Lati:**
   Nel triangolo rettangolo, se $$ \tan \theta = \frac{1}{2} $$, allora possiamo esprimere i lati opposto e adiacente in termini di un fattore comune:
   $$
   \text{Opposto} = a = \frac{b}{2}
   $$
   dove $$ b $$ è il lato adiacente.

4. **Applicazione del Teorema di Pitagora:**
   Utilizziamo il teorema di Pitagora per determinare i lati:
   $$
   a^2 + b^2 = 20^2 \
   \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2 = 400 \
   \frac{b^2}{4} + b^2 = 400 \
   \frac{5b^2}{4} = 400 \
   b^2 = \frac{400 \times 4}{5} = 320 \
   b = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \text{ cm}
   $$
   Di conseguenza:
   $$
   a = \frac{b}{2} = 4\sqrt{5} \text{ cm}
   $$

5. **Calcolo dell'Area:**
   L'area $$ A $$ del triangolo rettangolo è data da:
   $$
   A = \frac{a \times b}{2} = \frac{4\sqrt{5} \times 8\sqrt{5}}{2} = \frac{32 \times 5}{2} = \frac{160}{2} = 80 \text{ cm}^2
   $$

**Risposta Finale:**
L'area del triangolo è $$ 80 \, \text{cm}^2 $$.
L'area del triangolo rettangolo è $$ 80 \, \text{cm}^2 $$.

In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è lunga
20 cm e fra gli angoli acuti e vale la relazione
. Trova l’area del triangolo.

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