Domanda 5 di 5 (1) Tempo rimanente: 00:54:10 5) Siano dati due vettori non proporzionali $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in \mathbb{R}^{3} $$. Si consideri un terzo vettore $$ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} $$. Allora: se $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$, allora i tre vettori $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v} $$ sono linearmente indipendenti. se $$ \mathbf{v} $$ è non nullo, allora $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$ se e solo se $$ \mathbf{v} $$ è il vettore nullo di $$ \left.\mathbb{R}_{2}\right) $$. se $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$, allora i tre vettori $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v} $$ sono linearmente dipendenti.

Question

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Vamos a analizar cada una de las afirmaciones:

1. **Si $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$, entonces los tres vectores $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v} $$ son linealmente independientes.**
   
   **Falsa.** Si $$ \mathbf{v} $$ está en el espacio generado por $$ \mathbf{v}_{1} $$ y $$ \mathbf{v}_{2} $$, entonces $$ \mathbf{v} $$ puede expresarse como una combinación lineal de $$ \mathbf{v}_{1} $$ y $$ \mathbf{v}_{2} $$. Por lo tanto, los tres vectores son linealmente **dependientes**.

2. **Si $$ \mathbf{v} $$ es no nulo, entonces $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$ si y solo si $$ \mathbf{v} $$ es el vector nulo de $$ \mathbb{R}^{2} $$.**
   
   **Falsa.** Hay una inconsistencia en la afirmación: estamos trabajando en $$ \mathbb{R}^{3} $$, pero se menciona $$ \mathbb{R}^{2} $$. Además, si $$ \mathbf{v} $$ es no nulo y está en $$ L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$, no puede ser el vector nulo.

3. **Si $$ \mathbf{v} \in L\left(\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right) $$, entonces los tres vectores $$ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v} $$ son linealmente dependientes.**
   
   **Verdadera.** Como $$ \mathbf{v} $$ se expresa como una combinación lineal de $$ \mathbf{v}_{1} $$ y $$ \mathbf{v}_{2} $$, existe una dependencia lineal entre los tres vectores.

**Conclusión:** Solo la tercera afirmación es correcta.
La tercera afirmación es correcta: si $$ \mathbf{v} $$ está en el espacio generado por $$ \mathbf{v}_{1} $$ y $$ \mathbf{v}_{2} $$, entonces los tres vectores $$ \mathbf{v}_{1} $$, $$ \mathbf{v}_{2} $$, y $$ \mathbf{v} $$ son linealmente dependientes.

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