[Solved]: a) f(x)=x^7-x^-2

Claro, a continuación se presenta un análisis detallado de la función

1. Dominio de la función

La función está definida para todos los valores de

donde la expresión es válida. Observamos que:

El término está definido para todo real.
El término es equivalente a , lo cual no está definido cuando .

Dominio:

Es decir, todos los números reales excepto

2. Derivada de la función

Calculemos la primera derivada

para analizar la tasa de cambio y encontrar puntos críticos.

3. Puntos críticos

Los puntos críticos se encuentran donde la derivada es cero o no está definida dentro del dominio.

Esta ecuación tiene una única solución real

en el dominio de

Además, la derivada no está definida en

, pero como

no pertenece al dominio, sólo consideramos

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Analizamos el signo de

Para :

La función es creciente en .
Para :
Considerando :

Dado que para suficientemente grande, la derivada puede ser positiva o negativa dependiendo de .

Por lo tanto:

La función es creciente para .
Para , la función puede tener intervalos de crecimiento y decrecimiento dependiendo de la posición relativa al punto crítico .

5. Asíntotas

Asíntota vertical en , ya que tiende a cuando se aproxima a 0 desde la izquierda o la derecha.
Asíntotas horizontales o oblicuas:
Analizamos el comportamiento cuando .

No existen asíntotas horizontales ni oblicuas.

6. Comportamiento en los extremos

Para :
Para :
Para :
Para :

7. Graficando la función

La función

presenta las siguientes características gráficas:

Es una función impar, ya que .
Tiene una asíntota vertical en .
Crece indefinidamente a medida que se aleja del origen en ambas direcciones, con comportamientos asintóticos distintos según el signo de .

8. Conclusión

La función

es una función polinómica con un término adicional que introduce una asíntota vertical en

. Su análisis revela comportamientos de crecimiento y decrecimiento dependiendo del dominio considerado, así como su tendencia hacia el infinito en los extremos.

Extra Insights

Did you know that polynomials like

have fascinating historical roots? The study of polynomial functions dates back to ancient civilizations, where mathematicians explored their properties through geometry and algebra. For instance, the famous Babylonian mathematicians utilized polynomials to solve problems related to areas and volumes, laying the groundwork for future advancements in calculus and analysis.

This function

can be applied in real-world scenarios such as modeling physical phenomena involving motion or growth. The term

could represent a rapidly growing quantity, like population growth in an ideal situation, while the

might model a diminishing factor, such as resource depletion over time. Together, they can illustrate complex behaviors in systems, showing how different forces interact as variables change.

a)

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