puntı di contatto. Dimostra che il quadrilatero $$ A P B O $$ è inscrivibile in una circonferenza. tip Da un punto $$ P $$, esterno a una circonferenza di centro $$ O $$, traccia le tangenti alla circonferenza. Indica con $$ A $$ e $$ B \mathrm{i} $$ punti di contatto. Dimostra che il quadrilatero $$ A P B O $$ è circoscrivibile a una circonferenza. 211 Sia $$ A B C D $$ un parallelogramma. Traccia l'altezza $$ D E $$ relativa ad $$ A B $$ e l'altezza $$ B H $$ relativa ad $$ A D $$. Dimostra che il

Question

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Per dimostrare che il quadrilatero $$ APBO $$ è inscrivibile in una circonferenza, consideriamo quanto segue:

**Dati:**
- $$ P $$ è un punto esterno alla circonferenza di centro $$ O $$.
- Da $$ P $$ tracciamo le tangenti $$ PA $$ e $$ PB $$ alla circonferenza, con $$ A $$ e $$ B $$ punti di contatto.

**Prova:**

1. **Proprietà delle tangenti:**
   - Le tangenti ad una circonferenza tracciate da un punto esterno sono congruenti. Quindi, $$ PA = PB $$.

2. **Perpendicolarità tra tangente e raggio:**
   - La tangente in un punto di contatto è perpendicolare al raggio. Pertanto:
     - $$ OA \perp PA $$ ⇒ $$ \angle OAP = 90^\circ $$
     - $$ OB \perp PB $$ ⇒ $$ \angle OBP = 90^\circ $$

3. **Somma degli angoli interni del quadrilatero:**
   - In un quadrilatero, la somma degli angoli interni è $$ 360^\circ $$.
   - Dato che $$ \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ $$, abbiamo:
     $$
     \angle OAP + \angle OBP + \angle APB + \angle AOB = 360^\circ
     $$
     $$
     90^\circ + 90^\circ + \angle APB + \angle AOB = 360^\circ
     $$
     $$
     \angle APB + \angle AOB = 180^\circ
     $$

4. **Quadrilatero ciclico:**
   - Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma degli angoli opposti è $$ 180^\circ $$.
   - Dalla passaggio precedente, abbiamo che $$ \angle APB + \angle AOB = 180^\circ $$.

**Conclusione:**
Poiché la somma degli angoli opposti del quadrilatero $$ APBO $$ è $$ 180^\circ $$, il quadrilatero è ciclico. Pertanto, esiste una circonferenza che passa per i vertici $$ A $$, $$ P $$, $$ B $$ e $$ O $$.
Il quadrilatero $$ APBO $$ è inscrivibile in una circonferenza perché la somma degli angoli opposti $$ \angle APB $$ e $$ \angle AOB $$ è $$ 180^\circ $$.

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