puntı di contatto. Dimostra che il quadrilatero \( A P B O \) è inscrivibile in una circonferenza. tip Da un punto \( P \), esterno a una circonferenza di centro \( O \), traccia le tangenti alla circonferenza. Indica con \( A \) e \( B \mathrm{i} \) punti di contatto. Dimostra che il quadrilatero \( A P B O \) è circoscrivibile a una circonferenza. 211 Sia \( A B C D \) un parallelogramma. Traccia l'altezza \( D E \) relativa ad \( A B \) e l'altezza \( B H \) relativa ad \( A D \). Dimostra che il

Per dimostrare che il quadrilatero \( APBO \) è inscrivibile in una circonferenza, consideriamo quanto segue: **Dati:** - \( P \) è un punto esterno alla circonferenza di centro \( O \). - Da \( P \) tracciamo le tangenti \( PA \) e \( PB \) alla circonferenza, con \( A \) e \( B \) punti di contatto. **Prova:** 1. **Proprietà delle tangenti:** - Le tangenti ad una circonferenza tracciate da un punto esterno sono congruenti. Quindi, \( PA = PB \). 2. **Perpendicolarità tra tangente e raggio:** - La tangente in un punto di contatto è perpendicolare al raggio. Pertanto: - \( OA \perp PA \) ⇒ \( \angle OAP = 90^\circ \) - \( OB \perp PB \) ⇒ \( \angle OBP = 90^\circ \) 3. **Somma degli angoli interni del quadrilatero:** - In un quadrilatero, la somma degli angoli interni è \( 360^\circ \). - Dato che \( \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ \), abbiamo: \[ \angle OAP + \angle OBP + \angle APB + \angle AOB = 360^\circ \] \[ 90^\circ + 90^\circ + \angle APB + \angle AOB = 360^\circ \] \[ \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \] 4. **Quadrilatero ciclico:** - Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se la somma degli angoli opposti è \( 180^\circ \). - Dalla passaggio precedente, abbiamo che \( \angle APB + \angle AOB = 180^\circ \). **Conclusione:** Poiché la somma degli angoli opposti del quadrilatero \( APBO \) è \( 180^\circ \), il quadrilatero è ciclico. Pertanto, esiste una circonferenza che passa per i vertici \( A \), \( P \), \( B \) e \( O \).