Demuestra que $$ an(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$ usando las definiciones de las funciones trigonométricas.

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Demuestra que $$ 	an(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$ usando las definiciones de las funciones trigonométricas.

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Para demostrar que $$ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$, utilizaremos las definiciones de las funciones trigonométricas basadas en un triángulo rectángulo.

### Definiciones en un Triángulo Rectángulo

Consideremos un triángulo rectángulo donde:

- $$ \theta $$ es uno de los ángulos agudos.
- La hipotenusa tiene longitud $$ h $$.
- El cateto opuesto al ángulo $$ \theta $$ tiene longitud $$ o $$.
- El cateto adyacente al ángulo $$ \theta $$ tiene longitud $$ a $$.

Según estas definiciones, las funciones trigonométricas se definen como:

$$
\sin(\theta) = \frac{o}{h} \quad \text{y} \quad \cos(\theta) = \frac{a}{h}
$$

### Definición de la Tangente

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

$$
\tan(\theta) = \frac{o}{a}
$$

### Relación entre Tangente, Seno y Coseno

Ahora, expresamos $$ \tan(\theta) $$ en términos de $$ \sin(\theta) $$ y $$ \cos(\theta) $$:

$$
\tan(\theta) = \frac{o}{a} = \frac{\frac{o}{h}}{\frac{a}{h}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
$$

### Conclusión

De esta manera, hemos demostrado que:

$$
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
$$

Esto confirma que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el seno y el coseno de ese ángulo.
$$ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $$

Demuestra que usando las definiciones de las funciones trigonométricas.

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