4. (2 puntos) Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini e indica su cociente \( y \) su resto: a) \( \left(x^{2}-5 x+6\right):(x-2) \) b) \( \left(x^{3}-3 x^{2}+5\right):(x+1) \) c) \( \left(2 x^{3}-4 x+7\right):(x-1) \) d) \( \left(x^{3}-4 x^{2}-7 x+10\right):(x+2) \)

Para resolver las divisiones utilizando la regla de Ruffini, seguimos los pasos para cada caso: ### a) \( \left(x^{2}-5 x+6\right):(x-2) \) Colocamos 2 (la raíz de \(x-2\)) y los coeficientes de \(x^2 - 5x + 6\), que son 1, -5, y 6: ``` 2 | 1 -5 6 | 2 -6 --------------- 1 -3 0 ``` El cociente es \(x-3\) y el resto es \(0\). ### b) \( \left(x^{3}-3 x^{2}+5\right):(x+1) \) Colocamos -1 (la raíz de \(x+1\)) y los coeficientes de \(x^3 - 3x^2 + 0x + 5\), que son 1, -3, 0, y 5: ``` -1 | 1 -3 0 5 | -1 4 -4 --------------- 1 -4 4 1 ``` El cociente es \(x^2 - 4x + 4\) y el resto es \(1\). ### c) \( \left(2 x^{3}-4 x+7\right):(x-1) \) Colocamos 1 y los coeficientes de \(2x^3 + 0x^2 - 4x + 7\), que son 2, 0, -4, y 7: ``` 1 | 2 0 -4 7 | 2 2 -2 ------------------- 2 2 -2 5 ``` El cociente es \(2x^2 + 2x - 2\) y el resto es \(5\). ### d) \( \left(x^{3}-4 x^{2}-7 x+10\right):(x+2) \) Colocamos -2 y los coeficientes de \(x^3 - 4x^2 - 7x + 10\), que son 1, -4, -7, y 10: ``` -2 | 1 -4 -7 10 | -2 12 -10 -------------------- 1 -6 5 0 ``` El cociente es \(x^2 - 6x + 5\) y el resto es \(0\). ¡Y ahí lo tienes! Con la regla de Ruffini tus divisiones son un paseo por el parque. 😄