2. Fie forma pătratică \( \varphi: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} \). 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori \( u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} \) pentru care \( \varphi(u)=0 \) şi \( u \neq 0 \), \( \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 \). Este \( \varphi \) pozitiv definită?

Pentru a obține forma biliniară simetrică asociată formei pătratice date, putem extrage coeficientele din expresia formei și le putem reprezenta într-o matrice simetrică. Forma biliniară în raport cu vectorii \( x, y \in \mathbb{R}^3 \) este dată de: \[ \varphi(x) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 10 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] Aici, matricea asociată este: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 \\ -1 & 10 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \] Acum, pentru a aduce forma pătratică la o formă canonică, trebuie să determinăm valorile proprii și baza formei canonice. Calculând determinanta și valorile proprii asociate matricei, putem observa: \[ \det(A - \lambda I) = 0 \] Rezolvând această ecuație, vom identifica trei valori proprii, ceea ce va permite să determinăm baza formei canonice. Rangul formei pătratice se stabilește în funcție de numărul de valori proprii nenule. Pentru vectorii \( u, v, w \), putem considera vectorul \( u = (1, 1, 1) \), care satisface \( \varphi(u) = 0 \). Apoi, putem lua \( v = (1, 0, 0) \) și \( w = (0, 1, 1) \), având astfel \( \varphi(v) > 0 \) și \( \varphi(w) < 0 \). Deoarece existând valori pozitive și negative pentru formă, putem concluziona că \( \varphi \) nu este pozitiv definită.