2. Fie forma pătratică $$ \varphi: \mathbf{R}^{3} ightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} ight) \in \mathbf{R}^{3} $$. 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori $$ u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} $$ pentru care $$ \varphi(u)=0 $$ şi $$ u eq 0 $$, $$ \varphi(v)0, \varphi(w)

Question

2. Fie forma pătratică $$ \varphi: \mathbf{R}^{3} ightarrow \mathbf{R}, \varphi(x)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3} $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}ight) \in \mathbf{R}^{3} $$. 2.1. Să se scrie forma biliniară simetrică asociată şi matricea asociată (în raport cu baza canonică). 2.2. Să se aducă forma pătratică la o formă canonică, precizând baza formei canonice şi rangul formei. 2.3. Să se indice, dacă există, trei vectori $$ u, v, w \operatorname{din} \mathbf{R}^{3} $$ pentru care $$ \varphi(u)=0 $$ şi $$ u 
eq 0 $$, $$ \varphi(v)>0, \varphi(w)<0 $$. Este $$ \varphi $$ pozitiv definită?

UpStudy AI · Accepted Answer

### 2.1. Forma biliniară simetrică asociată și matricea asociată

**Forma biliniară simetrică asociată** $$\varphi$$ este dată de:

$$
B(x, y) = 2x_{1}y_{1} + 5x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3} - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1} + x_{1}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{2}y_{3} - 2x_{3}y_{2}
$$

Aceasta poate fi rearanjată pentru a evidenția simetria:

$$
B(x, y) = 2x_{1}y_{1} - x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} - x_{2}y_{1} + 5x_{2}y_{2} - 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{3}y_{2} + x_{3}y_{3}
$$

**Matricea asociată** $$\mathbf{A}$$ în raport cu baza canonică $$\{e_1, e_2, e_3\}$$ este:

$$
\mathbf{A} =
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \
-1 & 5 & -2 \
1 & -2 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

**Explicație detaliată:**

Pentru a determina matricea asociată, observăm coeficienții termilor pătrați și ai termenilor încrucișați din forma pătratică $$\varphi$$:

- Termenii pătrați:
  - $$x_{1}^{2}$$ are coeficientul 2, deci $$A_{11} = 2$$
  - $$x_{2}^{2}$$ au coeficientul 5, deci $$A_{22} = 5$$
  - $$x_{3}^{2}$$ are coeficientul 1, deci $$A_{33} = 1$$

- Termenii încrucișați:
  - $$-2x_{1}x_{2}$$ indică faptul că $$A_{12} = A_{21} = -1$$ (coeficientul se împarte la 2)
  - $$2x_{1}x_{3}$$ indică $$A_{13} = A_{31} = 1$$
  - $$-4x_{2}x_{3}$$ indică $$A_{23} = A_{32} = -2$$

Astfel, matricea asociată este construită folosind acești coeficienți în pozițiile corespunzătoare.

### Rezumat:

- **Forma biliniară simetrică asociată:**
  $$
  B(x, y) = 2x_{1}y_{1} - x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} - x_{2}y_{1} + 5x_{2}y_{2} - 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{3}y_{2} + x_{3}y_{3}
  $$

- **Matricea asociată:**
  $$
  \mathbf{A} =
  \begin{pmatrix}
  2 & -1 & 1 \
  -1 & 5 & -2 \
  1 & -2 & 1 \
  \end{pmatrix}
  $$
### 2.1. Forma biliniară simetrică și matricea asociată **Forma biliniară simetrică asociată** $$\varphi$$ este: $$ B(x, y) = 2x_{1}y_{1} - x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} - x_{2}y_{1} + 5x_{2}y_{2} - 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{3}y_{2} + x_{3}y_{3} $$ **Matricea asociată** în raport cu baza canonică este: $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 5 & -2 \ 1 & -2 & 1 \ \end{pmatrix} $$ simplify answer: Forma biliniară simetrică asociată este: $$ B(x, y) = 2x_{1}y_{1} - x_{1}y_{2} + x_{1}y_{3} - x_{2}y_{1} + 5x_{2}y_{2} - 2x_{2}y_{3} + x_{3}y_{1} - 2x_{3}y_{2} + x_{3}y_{3} $$ Matricea asociată în raport cu baza canonică este: $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 5 & -2 \ 1 & -2 & 1 \ \end{pmatrix} $$

Upstudy AI Solution

Answer

2.1. Forma biliniară simetrică și matricea asociată

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions