Esercizio 1. Si considerino i sottospazi di $$ \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) $$ : $$ U=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \ 0 & 2 & -1\end{array} ight) ;\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 0\end{array} ight) ight) \quad W=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 2\end{array} ight) ;\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 0\end{array} ight) ight) $$ (a) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Gli spazi $$ U $$ e $$ W $$ sono uguali? (b) (2pt) Stabilire se la somma di $$ U $$ e $$ W $$ è diretta. (c) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Determinare equazioni cartesiane per $$ U $$ e per $$ W $$. (d) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Determinare un complemento per lo spazio $$ U+W $$.

Question

Esercizio 1. Si considerino i sottospazi di $$ \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}) $$ : $$ U=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \ 0 & 2 & -1\end{array}ight) ;\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 0\end{array}ight)ight) \quad W=\mathcal{L}\left(\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 2\end{array}ight) ;\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 0\end{array}ight)ight) $$ (a) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Gli spazi $$ U $$ e $$ W $$ sono uguali? (b) (2pt) Stabilire se la somma di $$ U $$ e $$ W $$ è diretta. (c) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Determinare equazioni cartesiane per $$ U $$ e per $$ W $$. (d) $$ (\mathbf{2 p t}) $$ Determinare un complemento per lo spazio $$ U+W $$.

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**Risposta all'Esercizio 1(a):**

Gli spazi $$ U $$ e $$ W $$ **non sono uguali**.

**Motivazione:**

Per verificare se $$ U $$ e $$ W $$ siano uguali, dobbiamo controllare se i generatori di un sottospazio possono essere espressi come combinazioni lineari dei generatori dell'altro sottospazio.

Consideriamo i generatori di $$ U $$:
$$
A = \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \ 0 & 2 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}
$$
e i generatori di $$ W $$:
$$
C = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \ -1 & 1 & 0\end{pmatrix}
$$

Tentiamo di esprimere $$ A $$ come combinazione lineare di $$ C $$ e $$ D $$:
$$
aC + bD = A
$$
Questo porta al sistema di equazioni:
$$
\begin{cases}
- a + b = 1 \
0a + 0b = 0 \
a + b = -1 \
0a - b = 0 \
- a + b = 2 \
2a + 0b = -1
\end{cases}
$$
Dalle equazioni si deduce che $$ b = 0 $$ e $$ a = -1 $$. Tuttavia, sostituendo questi valori nelle altre equazioni, otteniamo contraddizioni (ad esempio, $$-a + b = 1$$ diventa $$1 + 0 = 1$$, che è corretto, ma $$-a + b = 2$$ diventa $$1 + 0 = 2$$, che è falso). Questo implica che $$ A $$ non appartiene a $$ W $$, quindi $$ U $$ e $$ W $$ non possono essere uguali.
Gli spazi $$ U $$ e $$ W $$ **non sono uguali**. **Motivazione:** Per verificare se $$ U $$ e $$ W $$ siano uguali, abbiamo controllato se i generatori di un sottospazio possono essere espressi come combinazioni lineari degli altri. Dopo un'analisi dettagliata, si è riscontrato che un generatore di $$ U $$ non può essere espresso in termini dei generatori di $$ W $$, pertanto $$ U $$ e $$ W $$ non sono uguali.

Esercizio 1. Si considerino i sottospazi di :

(a) Gli spazi e sono uguali?
(b) (2pt) Stabilire se la somma di e è diretta.
© Determinare equazioni cartesiane per e per .
(d) Determinare un complemento per lo spazio .

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Esercizio 1. Si considerino i sottospazi di : (a) Gli spazi e sono uguali? (b) (2pt) Stabilire se la somma di e è diretta. © Determinare equazioni cartesiane per e per . (d) Determinare un complemento per lo spazio .