Exercice 10: Expressions littérales 1. Développe les expressions suivantes : $$ \begin{array}{l} A=(2-x)(x+3) ; B=(2 x-4)(2 x-4) ; C=3 x(5 x-6) ; D \ =\left(\frac{4}{3} x-5 ight)(7-3 x) ; E=(2 x-7)^{2} ; F=(t+5)^{2} ; G=(4-z)(4+z) . \ ext { 2. Factorise les expressions suivantes : } A=4 x^{2}-8 x+1 ; B=t^{2}-9 ; C=x^{4}- \ 4 x^{2}(2 x-1) ; D=x^{3} y^{5} t+x^{2} y^{7}(1-t) ; E=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1 ; F=\frac{1}{81}-t^{2} ; G=y^{2}-16\end{array} $$

Question

Exercice 10: Expressions littérales 1. Développe les expressions suivantes : $$ \begin{array}{l} A=(2-x)(x+3) ; B=(2 x-4)(2 x-4) ; C=3 x(5 x-6) ; D \ =\left(\frac{4}{3} x-5ight)(7-3 x) ; E=(2 x-7)^{2} ; F=(t+5)^{2} ; G=(4-z)(4+z) . \ 	ext { 2. Factorise les expressions suivantes : } A=4 x^{2}-8 x+1 ; B=t^{2}-9 ; C=x^{4}- \ 4 x^{2}(2 x-1) ; D=x^{3} y^{5} t+x^{2} y^{7}(1-t) ; E=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x}+1 ; F=\frac{1}{81}-t^{2} ; G=y^{2}-16\end{array} $$

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**Exercice 10 : Expressions littérales**

---

### 1. Développe les expressions suivantes :

#### A. $$ A = (2 - x)(x + 3) $$
$$
\begin{align*}
A &= 2 \cdot x + 2 \cdot 3 - x \cdot x - x \cdot 3 \
&= 2x + 6 - x^2 - 3x \
&= -x^2 - x + 6 \
&= -x^2 - x + 6
\end{align*}
$$

#### B. $$ B = (2x - 4)(2x - 4) $$
$$
\begin{align*}
B &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 4 + 4^2 \
&= 4x^2 - 16x + 16
\end{align*}
$$
*Ou en utilisant la formule du carré parfait :*
$$
B = (2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16
$$

#### C. $$ C = 3x(5x - 6) $$
$$
\begin{align*}
C &= 3x \cdot 5x - 3x \cdot 6 \
&= 15x^2 - 18x
\end{align*}
$$

#### D. $$ D = \left(\frac{4}{3}x - 5\right)(7 - 3x) $$
$$
\begin{align*}
D &= \frac{4}{3}x \cdot 7 - \frac{4}{3}x \cdot 3x - 5 \cdot 7 + 5 \cdot 3x \
&= \frac{28}{3}x - 4x^2 - 35 + 15x \
&= -4x^2 + \left(\frac{28}{3}x + 15x\right) - 35 \
&= -4x^2 + \frac{73}{3}x - 35
\end{align*}
$$

#### E. $$ E = (2x - 7)^2 $$
$$
\begin{align*}
E &= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2 \
&= 4x^2 - 28x + 49
\end{align*}
$$

#### F. $$ F = (t + 5)^2 $$
$$
\begin{align*}
F &= t^2 + 2 \cdot t \cdot 5 + 5^2 \
&= t^2 + 10t + 25
\end{align*}
$$

#### G. $$ G = (4 - z)(4 + z) $$
$$
\begin{align*}
G &= 4^2 - z^2 \
&= 16 - z^2
\end{align*}
$$
*Utilisation de la différence de carrés.*

---

### 2. Factorise les expressions suivantes :

#### A. $$ A = 4x^2 - 8x + 1 $$
Nous recherchons deux nombres $$ m $$ et $$ n $$ tels que :
$$
m \cdot n = 4 \cdot 1 = 4 \quad \text{et} \quad m + n = -8
$$
Cependant, il n'existe pas de tels entiers. On utilise la formule générale :
$$
4x^2 - 8x + 1 = \left( 2x - a \right)\left( 2x - b \right)
$$
En développant :
$$
4x^2 - (a + b)2x + ab = 4x^2 - 8x + 1
$$
Ainsi :
$$
a + b = 4 \quad \text{et} \quad ab = 1
$$
Les solutions sont $$ a = 2 + \sqrt{3} $$ et $$ b = 2 - \sqrt{3} $$, donc :
$$
4x^2 - 8x + 1 = \left(2x - (2 + \sqrt{3})\right)\left(2x - (2 - \sqrt{3})\right)
$$

#### B. $$ B = t^2 - 9 $$
$$
B = t^2 - 3^2 = (t - 3)(t + 3)
$$
*Différence de carrés.*

#### C. $$ C = x^4 - 4x^2(2x - 1) $$
Développons d'abord :
$$
x^4 - 8x^3 + 4x^2
$$
Factorisons par $$ x^2 $$ :
$$
x^2(x^2 - 8x + 4)
$$
L'expression $$ x^2 - 8x + 4 $$ ne se factorise pas facilement avec des nombres entiers. On peut laisser la factorisation :
$$
C = x^2(x^2 - 8x + 4)
$$

#### D. $$ D = x^3 y^5 t + x^2 y^7 (1 - t) $$
Factorisons les termes communs :
$$
x^2 y^5 (x t + y^2 (1 - t))
$$
On peut réarranger les termes :
$$
x^2 y^5 \left( x t + y^2 - y^2 t \right) = x^2 y^5 \left( (x - y^2) t + y^2 \right)
$$

#### E. $$ E = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1 $$
Réécrivons en fonction de $$ x $$ :
$$
E = \frac{1 + 2x + x^2}{x^2} = \frac{(x + 1)^2}{x^2} = \left( \frac{x + 1}{x} \right)^2
$$

#### F. $$ F = \frac{1}{81} - t^2 $$
$$
F = \left(\frac{1}{9}\right)^2 - t^2 = \left(\frac{1}{9} - t\right)\left(\frac{1}{9} + t\right)
$$
*Différence de carrés.*

#### G. $$ G = y^2 - 16 $$
$$
G = y^2 - 4^2 = (y - 4)(y + 4)
$$
*Différence de carrés.*

---

**Résumé des réponses factorisées :**

2. Factorisation

- **A.** $$ 4x^2 -8x +1 = \left(2x - (2 + \sqrt{3})\right)\left(2x - (2 - \sqrt{3})\right) $$
- **B.** $$ t^2 -9 = (t - 3)(t + 3) $$
- **C.** $$ x^4 - 4x^2(2x-1) = x^2(x^2 - 8x + 4) $$
- **D.** $$ x^3 y^5 t +x^2 y^7 (1-t) = x^2 y^5 \left( xt + y^2(1 - t) \right) $$
- **E.** $$ \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} +1 = \left( \frac{x + 1}{x} \right)^2 $$
- **F.** $$ \frac{1}{81} - t^2 = \left( \frac{1}{9} - t \right)\left( \frac{1}{9} + t \right) $$
- **G.** $$ y^2 -16 = (y - 4)(y + 4) $$

---

N'hésitez pas à demander si vous avez besoin de précisions supplémentaires sur une des étapes !
**Exercice 10 : Expressions littérales** --- ### 1. Développe les expressions suivantes : - **A.** $$ A = (2 - x)(x + 3) = -x^2 - x + 6 $$ - **B.** $$ B = (2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16 $$ - **C.** $$ C = 3x(5x - 6) = 15x^2 - 18x $$ - **D.** $$ D = \left(\frac{4}{3}x - 5\right)(7 - 3x) = -4x^2 + \frac{73}{3}x - 35 $$ - **E.** $$ E = (2x - 7)^2 = 4x^2 - 28x + 49 $$ - **F.** $$ F = (t + 5)^2 = t^2 + 10t + 25 $$ - **G.** $$ G = (4 - z)(4 + z) = 16 - z^2 $$ --- ### 2. Factorise les expressions suivantes : - **A.** $$ A = 4x^2 - 8x + 1 = \left(2x - (2 + \sqrt{3})\right)\left(2x - (2 - \sqrt{3})\right) $$ - **B.** $$ B = t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3) $$ - **C.** $$ C = x^4 - 4x^2(2x - 1) = x^2(x^2 - 8x + 4) $$ - **D.** $$ D = x^3 y^5 t + x^2 y^7 (1 - t) = x^2 y^5 (xt + y^2(1 - t)) $$ - **E.** $$ E = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1 = \left( \frac{x + 1}{x} \right)^2 $$ - **F.** $$ F = \frac{1}{81} - t^2 = \left( \frac{1}{9} - t \right)\left( \frac{1}{9} + t \right) $$ - **G.** $$ G = y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4) $$ --- **Résumé des réponses factorisées :** - **A.** $$ 4x^2 -8x +1 = \left(2x - (2 + \sqrt{3})\right)\left(2x - (2 - \sqrt{3})\right) $$ - **B.** $$ t^2 -9 = (t - 3)(t + 3) $$ - **C.** $$ x^4 - 4x^2(2x-1) = x^2(x^2 - 8x + 4) $$ - **D.** $$ x^3 y^5 t +x^2 y^7 (1-t) = x^2 y^5 (xt + y^2(1 - t)) $$ - **E.** $$ \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} +1 = \left( \frac{x + 1}{x} \right)^2 $$ - **F.** $$ \frac{1}{81} - t^2 = \left( \frac{1}{9} - t \right)\left( \frac{1}{9} + t \right) $$ - **G.** $$ y^2 -16 = (y - 4)(y + 4) $$ --- N'hésitez pas à demander si vous avez besoin de précisions supplémentaires sur une des étapes !

Exercice 10: Expressions littérales

Développe les expressions suivantes :

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1. Développe les expressions suivantes :

2. Factorise les expressions suivantes :

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