Exercice 1 1. Resoudre dans $$ \mathbb{R} x^{2}-6 x+90 $$ et $$ x^{4}-6 x^{2}+90 $$ Soit la fonction definie par $$ f(x)=\frac{x^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2^{2}+2} $$ 2. Déterminer les réels $$ \mathrm{a}, \mathrm{b} $$ et c tels que $$ f(x)=a x+b+\frac{a x}{2^{2}+1} $$

Question

Exercice 1 1. Resoudre dans $$ \mathbb{R} x^{2}-6 x+9>0 $$ et $$ x^{4}-6 x^{2}+9>0 $$ Soit la fonction definie par $$ f(x)=\frac{x^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2^{2}+2} $$ 2. Déterminer les réels $$ \mathrm{a}, \mathrm{b} $$ et c tels que $$ f(x)=a x+b+\frac{a x}{2^{2}+1} $$

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Bien sûr, résolvons ensemble cet exercice étape par étape.

## Exercice 1

### 1. Résolution des inéquations dans $$ \mathbb{R} $$

#### a) $$ x^{2} - 6x + 9 > 0 $$

**Étapes de résolution :**

1. **Factorisation :**
   $$
   x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}
   $$
   
2. **Étude du signe :**
   $$
   (x - 3)^{2} > 0
   $$
   Le carré d'un réel est toujours positif ou nul. Ainsi, $$ (x - 3)^{2} > 0 $$ si et seulement si $$ x \neq 3 $$.

**Solution :**
$$
x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}
$$

#### b) $$ x^{4} - 6x^{2} + 9 > 0 $$

**Étapes de résolution :**

1. **Reconnaissance d'un carré parfait :**
   $$
   x^{4} - 6x^{2} + 9 = (x^{2} - 3)^{2}
   $$
   
2. **Étude du signe :**
   $$
   (x^{2} - 3)^{2} > 0
   $$
   Comme précédemment, un carré est positif sauf quand il est nul. Donc, $$ (x^{2} - 3)^{2} > 0 $$ si et seulement si $$ x^{2} - 3 \neq 0 $$, c'est-à-dire $$ x \neq \sqrt{3} $$ et $$ x \neq -\sqrt{3} $$.

**Solution :**
$$
x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt{3}, -\sqrt{3}\}
$$

### 2. Détermination des réels $$ a, b $$ et $$ c $$

**Fonction donnée :**
$$
f(x) = \frac{x^{2} + 5x^{2} + 9x + 5}{2^{2} + 2} = \frac{6x^{2} + 9x + 5}{6}
$$
(Supposant que $$ r $$ est une erreur typographique et doit être $$ x $$.)

**Objectif :**
Trouver $$ a, b $$ et $$ c $$ tels que :
$$
f(x) = a x + b + \frac{a x}{2^{2} + 1} = a x + b + \frac{a x}{5}
$$

**Étapes de résolution :**

1. **Simplification de la fonction :**
   $$
   f(x) = \frac{6x^{2} + 9x + 5}{6} = x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6}
   $$
   
2. **Équation à résoudre :**
   $$
   x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{5}{6} = a x + b + \frac{a x}{5}
   $$
   
3. **Simplification du côté droit :**
   $$
   a x + b + \frac{a x}{5} = a x \left(1 + \frac{1}{5}\right) + b = \frac{6a}{5}x + b
   $$
   
4. **Comparaison des coefficients des deux côtés :**
   - **Coefficient de $$ x^{2} $$ :**
     $$
     1 = 0 \quad \text{(car il n'y a pas de terme en } x^{2} \text{ du côté droit)}
     $$
     Cela est impossible, ce qui indique qu'il y a une incohérence dans l'énoncé.

**Remarque :**
Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé de la fonction ou dans l'expression à obtenir. Si tel est le cas, merci de vérifier et de fournir les informations correctes pour une résolution adéquate.
Il semble qu'il y ait une erreur dans l'énoncé de l'exercice. Pour résoudre correctement, veuillez vérifier et corriger la fonction ou l'expression souhaitée.

Exercice 1 1. Resoudre dans \( \mathbb{R} x^{2}-6 x+9>0 \) et \( x^{4}-6 x^{2}+9>0 \) Soit la fonction definie par \( f(x)=\frac{x^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2^{2}+2} \) 2. Déterminer les réels \( \mathrm{a}, \mathrm{b} \) et c tels que \( f(x)=a x+b+\frac{a x}{2^{2}+1} \)

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