Aufgabe: \( (2 \) Punkte) Untersuche die gegenseitige Lage der Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 2 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \) mit der Ebene \( \mathrm{E}:-4 x_{1}-8 x_{2}+x_{3}=-8 \) Berechne ggf. Abstand bzw. Durchstoßpunkt. Gerade schneidet Ebene, Durchstoßpunkt \( \mathrm{D}(\square \) Gerade ist parallel zur Ebene, Abstand der Gerade von der Ebene da Gerade ist Teil der Ebene \( \square \) Aus Iösen

Um die gegenseitige Lage der Geraden \( g \) und der Ebene \( \mathrm{E} \) zu untersuchen, gehen wir wie folgt vor: **Gegebene Gleichungen:** - **Gerade \( g \):** \[ \vec{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 8\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 4\end{pmatrix} \] Das entspricht den Komponenten: \[ \begin{cases} x_1 = 0 - t \\ x_2 = 2 + t \\ x_3 = 8 + 4t \end{cases} \] - **Ebene \( \mathrm{E} \):** \[ -4x_1 - 8x_2 + x_3 = -8 \] **Untersuchung der Lage:** 1. **Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:** \[ -4( -t ) - 8(2 + t) + (8 + 4t) = -8 \] \[ 4t - 16 - 8t + 8 + 4t = -8 \] \[ (4t - 8t + 4t) + (-16 + 8) = -8 \] \[ 0t - 8 = -8 \] Dies vereinfacht sich zu: \[ -8 = -8 \] 2. **Interpretation des Ergebnisses:** Da die Gleichung unabhängig von \( t \) immer wahr ist, bedeutet dies, dass **jeder Punkt** der Geraden \( g \) die Ebenengleichung \( \mathrm{E} \) erfüllt. **Schlussfolgerung:** Die Gerade \( g \) liegt **ganz** in der Ebene \( \mathrm{E} \). Das heißt, die Gerade ist **Teil der Ebene**. **Antwort:** Die Gerade liegt vollständig in der Ebene und ist somit Teil der Ebene.