Hausaufgabe 51: (Elliptische Koordinaten) Wir betrachten elliptische Koordinaten $$ x=a \cosh (u) \cos (v), \quad y=a \sinh (u) \sin (v) $$ Hierbei ist $$ a $$ eine fest vorgegebene positive Konstante und es gilt $$ u \in[0, \infty), v \in[0,2 \pi) $$. a) Zeigen Sie, dass die Determinante der Jacobi-Matrix gegeben ist durch $$ \operatorname{det}\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)=a^{2}\left[\sinh ^{2}(u)+\sin ^{2}(v)\right] $$ b) Welche Gestalt haben die Koordinatenlinien für $$ u= $$ konst.? Begründen Sie Ihre Antwort.

Question

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**Teil b)**

Für einen festen Wert von $$ u = u_0 $$ betrachten wir die Koordinatenlinien gegeben durch die Parametrisierung:
$$
x = a \cosh(u_0) \cos(v), \quad y = a \sinh(u_0) \sin(v)
$$
Um die Gestalt dieser Kurven zu bestimmen, eliminieren wir den Parameter $$ v $$. Dazu teilen wir beide Gleichungen durch $$ a \cosh(u_0) $$ bzw. $$ a \sinh(u_0) $$:
$$
\frac{x}{a \cosh(u_0)} = \cos(v), \quad \frac{y}{a \sinh(u_0)} = \sin(v)
$$
Nun quadrieren wir beide Gleichungen und addieren sie:
$$
\left( \frac{x}{a \cosh(u_0)} \right)^2 + \left( \frac{y}{a \sinh(u_0)} \right)^2 = \cos^2(v) + \sin^2(v) = 1
$$
Dies ergibt die Gleichung einer Ellipse:
$$
\frac{x^2}{a^2 \cosh^2(u_0)} + \frac{y^2}{a^2 \sinh^2(u_0)} = 1
$$
**Schlussfolgerung:**

Die Koordinatenlinien für $$ u = \text{konstant} $$ sind also Ellipsen mit den Halbachsen $$ a \cosh(u_0) $$ und $$ a \sinh(u_0) $$.

**Ansicht grafisch:**
- **Halbachsen:** Die größere Halbachse liegt entlang der x-Achse mit Länge $$ a \cosh(u_0) $$, und die kleinere Halbachse liegt entlang der y-Achse mit Länge $$ a \sinh(u_0) $$.
- **Eigenschaften:** Für $$ u_0 = 0 $$ reduziert sich die Ellipse auf die x-Achse von $$ -a $$ bis $$ a $$. Mit steigendem $$ u_0 $$ vergrößern sich beide Halbachsen, wobei die Ellipse entlang der x- und y-Achse expandiert.

**Zusammenfassung:**

Die Koordinatenlinien für $$ u = \text{konstant} $$ sind Ellipsen im kartesischen Koordinatensystem.
Die Koordinatenlinien für $$ u = $$ konstant sind Ellipsen.

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