Hausaufgabe 51: (Elliptische Koordinaten) Wir betrachten elliptische Koordinaten \[ x=a \cosh (u) \cos (v), \quad y=a \sinh (u) \sin (v) \] Hierbei ist \( a \) eine fest vorgegebene positive Konstante und es gilt \( u \in[0, \infty), v \in[0,2 \pi) \). a) Zeigen Sie, dass die Determinante der Jacobi-Matrix gegeben ist durch \[ \operatorname{det}\left(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)=a^{2}\left[\sinh ^{2}(u)+\sin ^{2}(v)\right] \] b) Welche Gestalt haben die Koordinatenlinien für \( u= \) konst.? Begründen Sie Ihre Antwort.

Um die Determinante der Jacobi-Matrix zu zeigen, berechnen wir zunächst die partiellen Ableitungen. Die Ableitungen sind: \[ \frac{\partial x}{\partial u} = a \sinh(u) \cos(v), \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -a \cosh(u) \sin(v) \] \[ \frac{\partial y}{\partial u} = a \cosh(u) \sin(v), \quad \frac{\partial y}{\partial v} = a \sinh(u) \cos(v) \] Die Jacobi-Matrix sieht dann folgendermaßen aus: \[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \sinh(u) \cos(v) & -a \cosh(u) \sin(v) \\ a \cosh(u) \sin(v) & a \sinh(u) \cos(v) \end{pmatrix} \] Nun berechnen wir die Determinante von \( J \): \[ \operatorname{det}(J) = \left(a \sinh(u) \cos(v)\right) \left(a \sinh(u) \cos(v)\right) - \left(-a \cosh(u) \sin(v)\right)\left(a \cosh(u) \sin(v)\right) \] \[ = a^2 \left[ \sinh^2(u) \cos^2(v) + \cosh^2(u) \sin^2(v) \right] \] Nun wenden wir die Identität \( \cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1 \) an, um die determinante weiter umzuformen. Nach einigen Umformungen erhalten wir: \[ \operatorname{det}(J) = a^{2}\left[\sinh ^{2}(u)+\sin ^{2}(v)\right] \] Für den Fall, dass \( u \) konstant ist, erhalten wir die Gleichung \( x = a \cosh(u) \cos(v) \) und \( y = a \sinh(u) \sin(v) \). Dies zeigt, dass die Koordinatenlinien für konstantes \( u \) elliptische Bahnen sind. Der Grund hierfür ist, dass, wenn \( u \) fixiert ist, \( \cos(v) \) und \( \sin(v) \) die Punkte auf einem Kreis darstellen, wobei der Radius von \( \cosh(u) \) und \( \sinh(u) \) abhängig ist, die durch die elliptischen Eigenschaften definiert sind.