$$ A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \ 1 & 0 & 4 \ 2 & 4 & 0\end{array} ight) $$ Allora: $$ A $$ è simmetrica. La matrice $$ -A $$ è entisimmetrica. $$ A=A^{T} $$ La matrice $$ 6 A $$ è simmetrica.

Question

$$ A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \ 1 & 0 & 4 \ 2 & 4 & 0\end{array}ight) $$ Allora: $$ A $$ è simmetrica. La matrice $$ -A $$ è entisimmetrica. $$ A=A^{T} $$ La matrice $$ 6 A $$ è simmetrica.

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Para analizar las propiedades de la matriz $$ A $$, primero recordemos que una matriz es simétrica si $$ A = A^T $$, donde $$ A^T $$ es la transpuesta de $$ A $$.

Dada la matriz:

$$
A = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \
1 & 0 & 4 \
2 & 4 & 0
\end{pmatrix}
$$

1. **Calcular la transpuesta de $$ A $$**:

$$
A^T = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \
1 & 0 & 4 \
2 & 4 & 0
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \
1 & 0 & 4 \
2 & 4 & 0
\end{pmatrix}
$$

Como podemos ver, $$ A^T = A $$, por lo tanto, $$ A $$ es simétrica.

2. **Verificar si $$ -A $$ es entisimétrica**:

Una matriz $$ B $$ es entisimétrica si $$ B = -B^T $$. Calculemos $$ -A $$:

$$
-A = \begin{pmatrix}
-3 & -1 & -2 \
-1 & 0 & -4 \
-2 & -4 & 0
\end{pmatrix}
$$

Ahora calculemos la transpuesta de $$ -A $$:

$$
(-A)^T = \begin{pmatrix}
-3 & -1 & -2 \
-1 & 0 & -4 \
-2 & -4 & 0
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
-3 & -1 & -2 \
-1 & 0 & -4 \
-2 & -4 & 0
\end{pmatrix}
$$

Como podemos ver, $$ -A = -(-A)^T $$, por lo tanto, $$ -A $$ es entisimétrica.

3. **Verificar si $$ 6A $$ es simétrica**:

Multiplicamos la matriz $$ A $$ por 6:

$$
6A = 6 \cdot \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \
1 & 0 & 4 \
2 & 4 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
18 & 6 & 12 \
6 & 0 & 24 \
12 & 24 & 0
\end{pmatrix}
$$

Ahora calculemos la transpuesta de $$ 6A $$:

$$
(6A)^T = \begin{pmatrix}
18 & 6 & 12 \
6 & 0 & 24 \
12 & 24 & 0
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
18 & 6 & 12 \
6 & 0 & 24 \
12 & 24 & 0
\end{pmatrix}
$$

Como podemos ver, $$ (6A)^T = 6A $$, por lo tanto, $$ 6A $$ es simétrica.

**Conclusiones**:
- $$ A $$ es simétrica.
- $$ -A $$ es entisimétrica.
- $$ 6A $$ es simétrica.
La matriz $$ A $$ es simétrica, $$ -A $$ es entisimétrica, y $$ 6A $$ también es simétrica.

\( A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 2 & 4 & 0\end{array}\right) \) Allora: \( A \) è simmetrica. La matrice \( -A \) è entisimmetrica. \( A=A^{T} \) La matrice \( 6 A \) è simmetrica.

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