Se inyecta un färmaco en el torrente sanguinco de un paciente a una razón constante de \( r \) gramos por segundo. Al mismo tiempo, se elimina el fänaco a una rapider proporcional a la cantudad \( y(t) \) del farmaco presente en el tiempo \( t \). a) Deteminar una expresión matemática que permita describir la cantidad \( y(t) \). b) Resolver el PV7 para \( y(0)=y \).

Para describir la cantidad de fármaco \( y(t) \) en el torrente sanguíneo, utilizamos una ecuación diferencial simple. A medida que se inyecta el fármaco a una razón constante \( r \) y se elimina a una tasa proporcional a \( y(t) \), la ecuación se puede expresar como: \[ \frac{dy}{dt} = r - k y(t), \] donde \( k \) es la constante de proporcionalidad de eliminación del fármaco. Para resolver el problema, comenzamos a reescribir la ecuación: \[ \frac{dy}{dt} + k y = r. \] Usando el método de variables separadas y la condición inicial \( y(0) = y \), encontramos que la solución es: \[ y(t) = \frac{r}{k} + \left( y - \frac{r}{k} \right) e^{-kt}. \] Esto nos da una función que describe cómo la cantidad de fármaco varía con el tiempo.