Sei $$ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ eine lineare Abbildung mit $$ f\left(\left[\begin{array}{l}1 \ 0 \ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}1 \ 0\end{array}\right], f\left(\left[\begin{array}{c}0 \ -1 \ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}1 \ 1\end{array}\right] . $$ Bestimmen Sie $$ f\left(\left[\begin{array}{c}-8 \ 6 \ -8\end{array}\right]\right)= $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die lineare Abbildung $$ f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $$ zu bestimmen, nutzen wir die gegebenen Informationen über die Abbildung von Basisvektoren. Da $$ f $$ linear ist, können wir die Abbildung auf beliebige Vektoren durch Linearkombinationen der gegebenen Vektoren bestimmen.

Die gegebenen Vektoren sind:
$$
\mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \quad f(\mathbf{v_1}) = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}
$$
$$
\mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}, \quad f(\mathbf{v_2}) = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}
$$

Wir wollen nun $$ f\left(\begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix}\right) $$ bestimmen. Zuerst drücken wir den Vektor $$ \begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix} $$ als Linearkombination der Vektoren $$ \mathbf{v_1} $$ und $$ \mathbf{v_2} $$ aus.

Wir setzen:
$$
\begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}
$$
Das ergibt das Gleichungssystem:
$$
\begin{bmatrix} a \ -b \ a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix}
$$

Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:
1. $$ a = -8 $$
2. $$ -b = 6 $$  $$\Rightarrow b = -6$$
3. $$ a = -8 $$ (was bereits gegeben ist)

Jetzt haben wir $$ a = -8 $$ und $$ b = -6 $$. Wir können nun $$ f $$ auf den Vektor $$ \begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix} $$ anwenden:
$$
f\left(\begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix}\right) = f\left(-8 \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}\right)
$$
Durch die Linearität von $$ f $$ erhalten wir:
$$
f\left(-8 \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}\right) + f\left(-6 \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}\right) = -8 f\left(\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}\right) - 6 f\left(\begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}\right)
$$
Setzen wir die Werte für $$ f(\mathbf{v_1}) $$ und $$ f(\mathbf{v_2}) $$ ein:
$$
= -8 \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}
$$
Das ergibt:
$$
= \begin{bmatrix} -8 \ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \ -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 - 6 \ 0 - 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -14 \ -6 \end{bmatrix}
$$

Somit ist das Ergebnis:
$$
f\left(\begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -14 \ -6 \end{bmatrix}
$$
$$ f\left(\begin{bmatrix} -8 \ 6 \ -8 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -14 \ -6 \end{bmatrix} $$

Sei eine lineare Abbildung mit

Bestimmen Sie

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Other Questions

Sei eine lineare Abbildung mit Bestimmen Sie