13. а) Решите уравнение $$ \frac{4^{\sin 2 x}-2^{2 \sqrt{3} \sin x}}{\sqrt{7 \sin x}}=0 $$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежашие отрезку $$ \left[-\frac{13 \pi}{2} ;-5 \pi\right] $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**13.**

**a)** Решим уравнение:
$$
\frac{4^{\sin 2x} - 2^{2 \sqrt{3} \sin x}}{\sqrt{7 \sin x}} = 0
$$
Это возможно только тогда, когда числитель равен нулю и знаменатель определён, то есть $$\sin x > 0$$. Рассмотрим числитель:
$$
4^{\sin 2x} - 2^{2 \sqrt{3} \sin x} = 0
$$
Преобразуем $$4^{\sin 2x}$$:
$$
4^{\sin 2x} = (2^2)^{\sin 2x} = 2^{2 \sin 2x}
$$
Получаем:
$$
2^{2 \sin 2x} = 2^{2 \sqrt{3} \sin x}
$$
При равных основаниях степени равны:
$$
2 \sin 2x = 2 \sqrt{3} \sin x
$$
Сокращаем на 2:
$$
\sin 2x = \sqrt{3} \sin x
$$
Используем формулу $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$:
$$
2 \sin x \cos x = \sqrt{3} \sin x
$$
Если $$\sin x \neq 0$$, делим на $$\sin x$$:
$$
2 \cos x = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
Решением этого уравнения являются:
$$
x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

**б)** Найдём корни уравнения на отрезке $$\left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$$.

Общее решение:
$$
x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n
$$
Ищем такие $$n$$, что:
$$
-\frac{13\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -5\pi
$$
Решаем неравенства:
$$
-\frac{13\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \leq 2\pi n \leq -5\pi - \frac{\pi}{6}
$$
$$
-\frac{40\pi}{6} \leq 2\pi n \leq -\frac{31\pi}{6}
$$
$$
-\frac{20}{3} \leq n \leq -\frac{31}{12}
$$
Целым значением $$n = -3$$.

Таким образом, корень:
$$
x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (-3) = \frac{\pi}{6} - 6\pi = -\frac{35\pi}{6}
$$
Проверим, что $$\sin\left(-\frac{35\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} > 0$$, что удовлетворяет условию $$\sin x > 0$$.

**Ответ:**

**a)** Общее решение: $$ x = \dfrac{\pi}{6} + 2\,\pi\,n $$, где $$ n $$ — целое число.

**б)** На отрезке $$\left[-\dfrac{13\,\pi}{2};\; -5\,\pi\right]$$ корень уравнения:
$$
x = -\,\dfrac{35\,\pi}{6}
$$
**13.** **a)** Решение уравнения: $$ \frac{4^{\sin 2x} - 2^{2 \sqrt{3} \sin x}}{\sqrt{7 \sin x}} = 0 $$ Делится на ноль только при $$\sin x > 0$$. Преобразуем и найдем $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ — целое число. **б)** На отрезке $$\left[-\frac{13\pi}{2}; -5\pi\right]$$ корень: $$ x = -\frac{35\pi}{6} $$

а) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежашие отрезку .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Trigonometry Questions

а) Решите уравнение . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежашие отрезку .