1) $$ \left.\left.с=12 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{1}{4} ; 2\right) c=20 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{2}{5} ; 3\right) c=18 \mathrm{~cm}, \sin A=\frac{2}{3} $$. 818. Знайдіть катет $$ b $$ прямокутного трикутника, якщо косинус кута $$ A $$, прилеглого до нього, і гіпотенуза $$ с $$ дорівнюють: 1) $$ \left.\left.c=6 \mathrm{cм}, \cos A=\frac{1}{3} ; 2\right) c=14 \mathrm{~cm}, \cos A=\frac{2}{7} ; 3\right) c=8 \mathrm{~cm}, \cos A=\frac{3}{4} $$. 819. Знайдіть гіпотенузу $$ A B $$ прямокутного трикутника $$ A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right) $$, якщо: 1) $$ B C=16 $$ см, $$ \cos B=\frac{1}{8} $$;

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте последовательно решим предложенные задачи по прямоугольным треугольникам.

---

**Задача 817.** Знайдіть катет $$ b $$ прямокутного трикутника, якщо:
1. $$ c = 12 $$ см, $$ \sin A = \frac{1}{4} $$;
2. $$ c = 20 $$ см, $$ \sin A = \frac{2}{5} $$;
3. $$ c = 18 $$ см, $$ \sin A = \frac{2}{3} $$.

**Рішення:**

У прямокутному трикутнику відношення синуса кута до гіпотенузи дає протилежний катет:
$$
\sin A = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad a = c \cdot \sin A
$$
А катет $$ b $$ можна знайти за допомогою теореми Піфагора:
$$
b = \sqrt{c^2 - a^2} = c \cdot \cos A
$$
Але, оскільки $$ \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} $$, отримаємо:
$$
b = c \cdot \sqrt{1 - \sin^2 A}
$$

1. **$$ c = 12 $$ см, $$ \sin A = \frac{1}{4} $$:**
$$
b = 12 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = 12 \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = 12 \cdot \sqrt{\frac{15}{16}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 3 \sqrt{15} \approx 11,62 \text{ см}
$$

2. **$$ c = 20 $$ см, $$ \sin A = \frac{2}{5} $$:**
$$
b = 20 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2} = 20 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{25}} = 20 \cdot \sqrt{\frac{21}{25}} = 20 \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = 4 \sqrt{21} \approx 18,33 \text{ см}
$$

3. **$$ c = 18 $$ см, $$ \sin A = \frac{2}{3} $$:**
$$
b = 18 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = 18 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = 18 \cdot \sqrt{\frac{5}{9}} = 18 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 6 \sqrt{5} \approx 13,42 \text{ см}
$$

---

**Задача 818.** Знайдіть катет $$ b $$ прямокутного трикутника, якщо:
1. $$ c = 6 $$ см, $$ \cos A = \frac{1}{3} $$;
2. $$ c = 14 $$ см, $$ \cos A = \frac{2}{7} $$;
3. $$ c = 8 $$ см, $$ \cos A = \frac{3}{4} $$.

**Рішення:**

Використовуємо визначення косинуса:
$$
\cos A = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cos A
$$

1. **$$ c = 6 $$ см, $$ \cos A = \frac{1}{3} $$:**
$$
b = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \text{ см}
$$

2. **$$ c = 14 $$ см, $$ \cos A = \frac{2}{7} $$:**
$$
b = 14 \cdot \frac{2}{7} = 4 \text{ см}
$$

3. **$$ c = 8 $$ см, $$ \cos A = \frac{3}{4} $$:**
$$
b = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 \text{ см}
$$

---

**Задача 819.** Знайдіть гіпотенузу $$ AB $$ прямокутного трикутника $$ ABC $$ ($$ \angle C = 90^{\circ} $$), якщо:
1. $$ BC = 16 $$ см, $$ \cos B = \frac{1}{8} $$.

**Рішення:**

В прямокутному трикутнику:
$$
\cos B = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{AC}{\cos B}
$$
Але ми знаємо сторони $$ BC $$ і можемо використати теорему Піфагора:
$$
AB = \text{гіпотенуза}, \quad BC = 16 \text{ см}, \quad AC = b
$$
Спочатку знайдемо $$ AC $$ через косинус:
$$
\cos B = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AC = AB \cdot \cos B
$$
Тепер використаємо теорему Піфагора:
$$
AB^2 = AC^2 + BC^2 = (AB \cdot \cos B)^2 + (16)^2
$$
Підставимо значення $$ \cos B = \frac{1}{8} $$:
$$
AB^2 = (AB \cdot \frac{1}{8})^2 + 256 \
AB^2 = \frac{AB^2}{64} + 256 \
AB^2 - \frac{AB^2}{64} = 256 \
\frac{63 AB^2}{64} = 256 \
AB^2 = \frac{256 \cdot 64}{63} \
AB^2 = \frac{16384}{63} \
AB = \sqrt{\frac{16384}{63}} \
AB \approx \frac{128}{\sqrt{63}} \approx \frac{128}{7.937} \approx 16.13 \text{ см}
$$

**Відповідь:** Гіпотенуза $$ AB $$ приблизно дорівнює $$ 16,13 $$ см.

---

Якщо виникнуть додаткові питання або необхідні інші завдання, будь ласка, дайте знати!
Катет $$ b $$ в першій задачі дорівнює приблизно 11,62 см, 18,33 см і 13,42 см відповідно. В другій задачі катет $$ b $$ дорівнює 2 см, 4 см і 6 см. Гіпотенуза $$ AB $$ в третьій задачі приблизно дорівнює 16,13 см.

Solución de tutoría real

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions