Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: $$ 6 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=-162 $$ und F: $$ 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-486 $$ Berechne ggf. den Abstand. $$ \begin{array}{l} ext { Ebenen sind identisch } \ ext { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen } \mathrm{d}= \ ext { Ebenen schneiden sich }\end{array} $$

Question

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: $$ 6 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=-162 $$ und F: $$ 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-486 $$ Berechne ggf. den Abstand. $$ \begin{array}{l}	ext { Ebenen sind identisch } \ 	ext { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen } \mathrm{d}= \ 	ext { Ebenen schneiden sich }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Die beiden Ebenen $$ E $$ und $$ F $$ lassen sich wie folgt untersuchen:

**Normalenvektoren:**
- Ebene $$ E $$: $$\mathbf{n}_E = (6,\, 3,\, 6)$$
- Ebene $$ F $$: $$\mathbf{n}_F = (5,\, -2,\, 1)$$

**Überprüfung auf Parallelität:**
Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren proportional sind. Das bedeutet, es muss ein Skalar $$ k $$ existieren, sodass:
$$
\mathbf{n}_E = k \cdot \mathbf{n}_F
$$
Prüfen wir die Proportionalität:
$$
\frac{6}{5} \neq \frac{3}{-2} \neq \frac{6}{1}
$$
Da keine Konstante $$ k $$ existiert, die alle Komponentenverhältnisse erfüllt, sind die Ebenen **nicht parallel**.

**Schlussfolgerung:**
Da die Ebenen nicht parallel sind, schneiden sie sich.

**Antwort:**
Die Ebenen schneiden sich.
Die Ebenen schneiden sich.

Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen
E: und F:
Berechne ggf. den Abstand.

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Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: und F: Berechne ggf. den Abstand.