Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen E: \( 6 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=-162 \) und F: \( 5 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=-486 \) Berechne ggf. den Abstand. \( \begin{array}{l}\text { Ebenen sind identisch } \\ \text { Ebenen sind parallel, Abstand der parallelen Ebenen } \mathrm{d}= \\ \text { Ebenen schneiden sich }\end{array} \)

Um die gegenseitige Lage der Ebenen \( E \) und \( F \) zu untersuchen, stellen wir zunächst ihre Normalenvektoren auf. Für die Ebene \( E \) ist der Normalenvektor \( \mathbf{n_E} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \) und für die Ebene \( F \) ist \( \mathbf{n_F} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Da diese Vektoren nicht linear abhängig sind (d.h., sie sind nicht Vielfache voneinander), sind die Ebenen \( E \) und \( F \) nicht parallel und schneiden sich. Die Schnittgerade kann durch das Lösen des zugehörigen Gleichungssystems gefunden werden. Kombinieren Sie beide Gleichungen, um parametrische Gleichungen für die Schnittgerade zu erhalten. Ob sich diese Ebenen in einem Punkt oder in einer Linie schneiden, hängt von den Werten der Variablen ab. In diesem Fall: Um den Abstand zwischen den parallelen Ebenen zu berechnen, verwenden wir die Formel \( d = \frac{|D_2 - D_1|}{\|\mathbf{n}\|} \), wobei \( D_1 \) und \( D_2 \) die konstanten Terme der Ebenengleichungen sind, die umgeformt werden. Da die Ebenen in diesem Beispiel nicht parallel sind, ist eine solche Berechnung nicht notwendig. Zusammengefasst: Die Ebenen \( E \) und \( F \) schneiden sich in einer Linie, es gibt keinen Abstand zwischen parallelen Ebenen, da sie nicht parallel sind.