El sistema tiene infinitas soluciones que forman un subespacio vectorial de con dimensión 2.
Solution
Para resolver el sistema lineal de 3 ecuaciones en 4 incógnitas, primero escribimos las ecuaciones:
Paso 1: Representar el sistema en forma matricial
Podemos representar el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada:
Paso 2: Reducir la matriz a su forma escalonada
Realizaremos operaciones elementales en las filas para llevar la matriz a su forma escalonada.
Restamos la primera fila de la segunda y tercera fila:
Ahora, sumamos 2 veces la segunda fila a la tercera fila:
Paso 3: Interpretar la matriz escalonada
La matriz escalonada indica que tenemos 2 ecuaciones independientes y 4 incógnitas. Esto significa que hay un número infinito de soluciones.
Paso 4: Determinar la dimensión del espacio de soluciones
Dado que tenemos 4 incógnitas y 2 ecuaciones independientes, la dimensión del espacio de soluciones se puede calcular como:
óúóú
Esto significa que el sistema admite infinitas soluciones que constituyen un subespacio vectorial de con dimensión 2.
Conclusión
El sistema de ecuaciones admite infinitas soluciones que constituyen un subespacio vectorial de con dimensión 2.
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Beyond the Answer
Nel contesto dell’algebra lineare, un sistema di equazioni come questo può avere infinite soluzioni, specialmente quando ci sono più variabili che equazioni. In questo caso, le dimensioni delle soluzioni sono determinate dal rango della matrice associata al sistema e dal numero di variabili. Se il rango è inferiore al numero di incognite, si avrà un sottospazio vettoriale di dimensione sempre positiva.
Un modo per approcciare problemi come questi è utilizzare il metodo di Gauss per ridurre la matrice alle forme più semplici, facilitando la lettura delle soluzioni. Un errore comune è trascurare di considerare tutte le variabili libere, il che può portare a non identificare tutte le soluzioni possibili. Assicurati di esaminare attentamente il numero delle equazioni in relazione al numero delle incognite!