$$ a=\frac{4x^{2}-1}{2x^{2}-3|x|+1} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Η δοσμένη συνάρτηση είναι:

$$ a = \frac{4x^{2} - 1}{2x^{2} - 3|x| + 1} $$

### Παραγοντοποίηση του Αριθμητή

Ο αριθμητής $$4x^{2} - 1$$ είναι μια διαφορά τετραγώνων και μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

$$
4x^{2} - 1 = (2x)^{2} - 1^{2} = (2x - 1)(2x + 1)
$$

Άρα, ο αριθμητής παραγοντοποιείται σε:

$$
(2x - 1)(2x + 1)
$$

### Ανάλυση του Παρονομαστή

Ο παρονομαστής $$2x^{2} - 3|x| + 1$$ περιέχει τον απόλυτο όρο $$|x|$$, γεγονός που απαιτεί ανάλυση σε δύο περιπτώσεις:

1. **Για $$x \geq 0$$:**  
   $$|x| = x$$, οπότε ο παρονομαστής γίνεται:
   $$
   2x^{2} - 3x + 1
   $$
   Αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως:
   $$
   2x^{2} - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)
   $$

2. **Για $$x < 0$$:**  
   $$|x| = -x$$, οπότε ο παρονομαστής γίνεται:
   $$
   2x^{2} + 3x + 1
   $$
   Αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως:
   $$
   2x^{2} + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)
   $$

### Τελική Παραγοντοποιημένη Μορφή της Συνάρτησης

Συνοψίζοντας, η συνάρτηση $$a$$ μπορεί να εκφραστεί παραγοντοποιημένα ως εξής:

$$
a = 
\begin{cases}
\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(2x - 1)(x - 1)} = \frac{2x + 1}{x - 1} & \text{για } x \geq 0, \
\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(2x + 1)(x + 1)} = \frac{2x - 1}{x + 1} & \text{για } x < 0.
\end{cases}
$$

**Σημειώσεις:**
- Για $$x = \frac{1}{2}$$ και $$x = -\frac{1}{2}$$, υπάρχουν σημεία όπου ο παρονομαστής μηδενίζεται, οπότε αυτές οι τιμές πρέπει να αποφεύγονται για να διατηρείται η συνάρτηση ορισμένη.
- Η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχειες στα σημεία όπου ο παρονομαστής μηδενίζεται.
Η συνάρτηση $$ a = \frac{4x^{2} - 1}{2x^{2} - 3|x| + 1} $$ μπορεί να εκφραστεί παραγοντοποιημένα ως: $$ a = \begin{cases} \frac{2x + 1}{x - 1} & \text{για } x \geq 0, \ \frac{2x - 1}{x + 1} & \text{για } x < 0. \end{cases} $$ Σημειώσεις: - Οι σημεία $$ x = \frac{1}{2} $$ και $$ x = -\frac{1}{2} $$ πρέπει αποφεύγειν για να διατηρείται η συνάρτηση ορισμένη. - Η συνάρτηση παρουσιάζει ασυνέχειες στα αναφερθέντα σημεία.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions