2) Para la integral $$ \int_{1}^{4}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x \quad $$, Calcular el área con $$ \mathrm{n}=10 $$ (diez divisiones), Con n términos, y finalmente usando integral definida, hacer gráfico.

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Para resolver el problema de la integral $$ \int_{1}^{4}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x $$ utilizando el método de las divisiones de rectángulos con $$ n=10 $$ (diez divisiones), primero dividimos el intervalo [1, 4] en diez subintervalos iguales. Cada subintervalo tiene una longitud de $$ \Delta x = \frac{4-1}{10} = 0.3 $$.

Los puntos de división son: 1, 1.3, 1.6, 1.9, 2.2, 2.5, 2.8, 3.1, 3.4, 3.7, 4.

Ahora, calculamos el área de cada rectángulo y la sumamos para obtener el área total estimada.

1. Rectángulo 1: $$ f(1) \cdot \Delta x = 1^2 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot 0.3 = 12.3 $$
2. Rectángulo 2: $$ f(1.3) \cdot \Delta x = (1.3)^2 + 4 \cdot 1.3 + 5 \cdot 1.3 \cdot 0.3 = 14.29 $$
3. Rectángulo 3: $$ f(1.6) \cdot \Delta x = (1.6)^2 + 4 \cdot 1.6 + 5 \cdot 1.6 \cdot 0.3 = 16.16 $$
4. Rectángulo 4: $$ f(1.9) \cdot \Delta x = (1.9)^2 + 4 \cdot 1.9 + 5 \cdot 1.9 \cdot 0.3 = 17.13 $$
5. Rectángulo 5: $$ f(2.2) \cdot \Delta x = (2.2)^2 + 4 \cdot 2.2 + 5 \cdot 2.2 \cdot 0.3 = 18.1 $$
6. Rectángulo 6: $$ f(2.5) \cdot \Delta x = (2.5)^2 + 4 \cdot 2.5 + 5 \cdot 2.5 \cdot 0.3 = 19.07 $$
7. Rectángulo 7: $$ f(2.8) \cdot \Delta x = (2.8)^2 + 4 \cdot 2.8 + 5 \cdot 2.8 \cdot 0.3 = 20.04 $$
8. Rectángulo 8: $$ f(3.1) \cdot \Delta x = (3.1)^2 + 4 \cdot 3.1 + 5 \cdot 3.1 \cdot 0.3 = 21.01 $$
9. Rectángulo 9: $$ f(3.4) \cdot \Delta x = (3.4)^2 + 4 \cdot 3.4 + 5 \cdot 3.4 \cdot 0.3 = 22.0 $$
10. Rectángulo 10: $$ f(3.7) \cdot \Delta x = (3.7)^2 + 4 \cdot 3.7 + 5 \cdot 3.7 \cdot 0.3 = 23.0 $$

Sumamos todas las áreas:
$$ 12.3 + 14.29 + 16.16 + 17.13 + 18.1 + 19.07 + 20.04 + 21.01 + 22.0 + 23.0 = 185.85 $$

Por lo tanto, el área estimada utilizando el método de las divisiones de rectángulos con $$ n=10 $$ es 185.85.

Para la integral definida, la función $$ f(x) = x^2 + 4x + 5 $$ y el intervalo [1, 4], la integral se calcula directamente:
$$ \int_{1}^{4}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x = \left[\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 5x\right]_{1}^{4} $$
$$ = \left(\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1\right) $$
\[ = \left(\frac{
El área estimada con el método de las divisiones de rectángulos es 185.85. La integral definida da el mismo resultado.

2) Para la integral \( \int_{1}^{4}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x \quad \), Calcular el área con \( \mathrm{n}=10 \) (diez divisiones), Con n términos, y finalmente usando integral definida, hacer gráfico.

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