2) Determine si el siguiente conjunto de polinomios es una base para el espacio vectorial $$ \mathrm{P}_{2} $$ En $$ \mathrm{P}_{2}:-2 x, x+3 x^{2}, x+2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar si el conjunto de polinomios $$ \{-2x, x + 3x^2, x + 2\} $$ es una base para el espacio vectorial $$ \mathrm{P}_{2} $$, debemos verificar dos condiciones:

1. **Linealidad**: Los polinomios deben ser linealmente independientes.
2. **Dimensión**: El conjunto debe generar el espacio $$ \mathrm{P}_{2} $$, que tiene dimensión 3.

### Paso 1: Comprobar la linealidad

Para comprobar si los polinomios son linealmente independientes, consideramos la combinación lineal:

$$
c_1(-2x) + c_2(x + 3x^2) + c_3(x + 2) = 0
$$

donde $$ c_1, c_2, c_3 $$ son escalares. Expandimos la combinación:

$$
-2c_1x + c_2x + 3c_2x^2 + c_3x + 2c_3 = 0
$$

Agrupamos los términos:

$$
( -2c_1 + c_2 + c_3 )x + 3c_2x^2 + 2c_3 = 0
$$

Para que esta ecuación sea igual a cero para todos los $$ x $$, los coeficientes de cada potencia de $$ x $$ deben ser cero. Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

1. $$ -2c_1 + c_2 + c_3 = 0 $$ (coeficiente de $$ x $$)
2. $$ 3c_2 = 0 $$ (coeficiente de $$ x^2 $$)
3. $$ 2c_3 = 0 $$ (término constante)

De la segunda ecuación, $$ 3c_2 = 0 $$ implica que $$ c_2 = 0 $$.

De la tercera ecuación, $$ 2c_3 = 0 $$ implica que $$ c_3 = 0 $$.

Sustituyendo $$ c_2 = 0 $$ y $$ c_3 = 0 $$ en la primera ecuación:

$$
-2c_1 + 0 + 0 = 0 \implies c_1 = 0
$$

Por lo tanto, la única solución es $$ c_1 = c_2 = c_3 = 0 $$, lo que significa que los polinomios son linealmente independientes.

### Paso 2: Comprobar la dimensión

Dado que hemos encontrado 3 polinomios linealmente independientes en $$ \mathrm{P}_{2} $$, y sabemos que la dimensión de $$ \mathrm{P}_{2} $$ es 3, podemos concluir que estos polinomios generan todo el espacio.

### Conclusión

El conjunto de polinomios $$ \{-2x, x + 3x^2, x + 2\} $$ es una base para el espacio vectorial $$ \mathrm{P}_{2} $$.
El conjunto de polinomios $$ \{-2x, x + 3x^2, x + 2\} $$ es una base para el espacio vectorial $$ \mathrm{P}_{2} $$.

Determine si el siguiente conjunto de polinomios es una base para el espacio vectorial
En

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Paso 1: Comprobar la linealidad

Paso 2: Comprobar la dimensión

Conclusión

Extra Insights

Related Questions

Latest Algebra Questions

Determine si el siguiente conjunto de polinomios es una base para el espacio vectorial En