2btener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su ángulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y .
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

Ask by Pollard Ramos. in Mexico

Mar 23,2025

Question

2btener la ecuación de la recta en su forma general que pasa por el punto y es perpendicular a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por el punto y es paralela a la recta .
Obtener la ecuación de la recta en su forma ordinaria que pasa por el punto y . Graficarla y obtener su ángulo
de inclinación.
Calcular la distancia entre las rectas paralelas y .
Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos
y .

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Mar 23,2025

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1. Sea la recta dada
   $$
   \frac{x}{2}+\frac{y}{\frac{1}{2}}=1.
   $$
   Como $$\frac{y}{\frac{1}{2}}=2y$$, se tiene
   $$
   \frac{x}{2}+2y=1.
   $$
   Multiplicando ambos lados por 2 se obtiene la forma general:
   $$
   x+4y=2.
   $$
   Despejando $$y$$ se llega a
   $$
   y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}.
   $$
   Su pendiente es $$m=-\frac{1}{4}$$. La recta perpendicular tendrá pendiente:
   $$
   m_{\perp}=4.
   $$
   Usando el punto $$\mathrm{P}(-2,-3)$$ y la fórmula punto-pendiente:
   $$
   y - (-3) = 4\Bigl(x - (-2)\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad y+3=4\,(x+2).
   $$
   Expresándola en forma general:
   $$
   y+3=4x+8 \quad\Rightarrow\quad 4x-y+5=0.
   $$

2. La recta dada es
   $$
   -2x+5y=10.
   $$
   Despejando $$y$$:
   $$
   5y=2x+10 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{5}x+2.
   $$
   La pendiente es $$m=\frac{2}{5}$$. Una recta paralela tendrá la misma pendiente.  
   Para expresar la ecuación en forma simétrica, se utiliza la dirección asociada: se puede elegir el vector director $$(5,2)$$. Así, con el punto $$\mathrm{P}(2,3)$$:
   $$
   \frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{2}.
   $$

3. Dados los puntos $$\mathrm{P}(1,4)$$ y $$\mathrm{Q}(-3,-2)$$, se calcula la pendiente:
   $$
   m=\frac{-2-4}{-3-1}=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.
   $$
   Usando la forma punto-pendiente con $$\mathrm{P}(1,4)$$:
   $$
   y-4=\frac{3}{2}\,(x-1).
   $$
   Expresándola en forma ordinaria (forma pendiente-ordenada, donde se despeja $$y$$):
   $$
   y=\frac{3}{2}x+\left(4-\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.
   $$
   El ángulo de inclinación $$\theta$$ se obtiene con
   $$
   \theta=\arctan\left(\frac{3}{2}\right).
   $$
   Su gráfica es la recta que corta el eje $$y$$ en $$\left(0,\frac{5}{2}\right)$$ y tiene pendiente $$1.5$$.

4. Se quiere calcular la distancia entre dos rectas paralelas:
   $$
   3x+9y-5=0 \quad \text{y} \quad 3x+9y+2=0.
   $$
   La fórmula para la distancia entre rectas paralelas de la forma $$Ax+By+C=0$$ es
   $$
   d=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
   $$
   Identificando $$A=3$$, $$B=9$$, $$C_1=-5$$ y $$C_2=2$$, se tiene:
   $$
   d=\frac{|2-(-5)|}{\sqrt{3^2+9^2}}=\frac{7}{\sqrt{9+81}}=\frac{7}{\sqrt{90}}=\frac{7}{3\sqrt{10}}.
   $$
   También se puede racionalizar:
   $$
   d=\frac{7\sqrt{10}}{30}.
   $$

5.  
   - Para la recta que pasa por $$\mathrm{A}(1,3)$$ y $$\mathrm{B}(-4,2)$$:  
     La pendiente es
     $$
     m_1=\frac{2-3}{-4-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
     $$
     
   - Para la recta que pasa por $$\mathrm{C}(-5,4)$$ y $$\mathrm{D}(5,-3)$$:  
     La pendiente es
     $$
     m_2=\frac{-3-4}{5-(-5)}=\frac{-7}{10}=-\frac{7}{10}.
     $$
     
   El ángulo $$\theta$$ entre dos rectas con pendientes $$m_1$$ y $$m_2$$ se determina por:
   $$
   \tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.
   $$
   Sustituyendo:
   $$
   \tan\theta=\left|\frac{-\frac{7}{10}-\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{10}\right)}\right|.
   $$
   Se observa que $$\frac{1}{5}=\frac{2}{10}$$, luego:
   $$
   \tan\theta=\left|\frac{-\frac{7}{10}-\frac{2}{10}}{1-\frac{7}{50}}\right|=\left|\frac{-\frac{9}{10}}{\frac{43}{50}}\right|=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{43}{50}}=\frac{9}{10}\times\frac{50}{43}=\frac{45}{43}.
   $$
   Finalmente, el ángulo es:
   $$
   \theta=\arctan\left(\frac{45}{43}\right).
   $$
   Este valor en grados es aproximadamente $$46.4^\circ$$.
1. La recta perpendicular a $$ \frac{x}{2}+\frac{y}{\frac{1}{2}}=1 $$ que pasa por $$ \mathrm{P}(-2,-3) $$ es $$ 4x - y + 5 = 0 $$. 2. La recta paralela a $$ -2x + 5y = 10 $$ que pasa por $$ \mathrm{P}(2,3) $$ en forma simétrica es $$ \frac{x-2}{5} = \frac{y-3}{2} $$. 3. La recta que pasa por $$ \mathrm{P}(1,4) $$ y $$ \mathrm{Q}(-3,-2) $$ en forma ordinaria es $$ y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2} $$, con un ángulo de inclinación de $$ \arctan\left(\frac{3}{2}\right) $$. 4. La distancia entre las rectas paralelas $$ 3x + 9y - 5 = 0 $$ y $$ 3x + 9y + 2 = 0 $$ es $$ \frac{7\sqrt{10}}{30} $$. 5. El ángulo entre la recta que pasa por $$ \mathrm{A}(1,3) $$ y $$ \mathrm{B}(-4,2) $$ y la recta que pasa por $$ \mathrm{C}(-5,4) $$ y $$ \mathrm{D}(5,-3) $$ es $$ \arctan\left(\frac{45}{43}\right) $$, aproximadamente $$ 46.4^\circ $$.

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