4. $$ \left\{\begin{array}{c}-3 x+6 y=4 \ 3 x=6 y-4\end{array} ight. $$

Question

4. $$ \left\{\begin{array}{c}-3 x+6 y=4 \ 3 x=6 y-4\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Il sistema di equazioni lineari dato è:

$$
\begin{cases}
-3x + 6y = 4 \
3x = 6y - 4
\end{cases}
$$

Possiamo riscrivere la seconda equazione in modo da ottenere una forma simile alla prima:

$$
3x = 6y - 4 \quad \Rightarrow \quad 3x - 6y = -4
$$

Ora confrontiamo le due equazioni:

1. $$-3x + 6y = 4$$
2. $$3x - 6y = -4$$

Sommiamo le due equazioni insieme:

$$
(-3x + 6y) + (3x - 6y) = 4 + (-4) \quad \Rightarrow \quad 0 = 0
$$

Poiché otteniamo un'identità vera, ciò indica che le due equazioni sono dipendenti e rappresentano la stessa retta. Di conseguenza, il sistema ha infinite soluzioni.

Per esprimere le soluzioni, possiamo isolare una delle variabili in termini dell'altra. Ad esempio, dalla seconda equazione:

$$
3x = 6y - 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2y - \frac{4}{3}
$$

Quindi, le soluzioni del sistema possono essere descritte come:

$$
x = 2y - \frac{4}{3}, \quad \text{dove } y \text{ è un numero reale}
$$

In altre parole, ogni coppia $$(x, y)$$ che soddisfa $$x = 2y - \frac{4}{3}$$ è una soluzione del sistema.
Il sistema ha infinite soluzioni, tutte delle coppie $$(x, y)$$ che soddisfano $$x = 2y - \frac{4}{3}$$.

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