Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( P(5|-3|-4) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 3 x_{1}+4 x_{3}=24 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat. 1.25

Um den Abstand des Punktes \( P(5|-3|-4) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 3 x_{1}+4 x_{3}=24 \) zu berechnen, verwenden wir die Formel für den Distanzabstand eines Punktes zu einer Ebene in der Form \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Zunächst bringen wir die Ebene in diese Form: \( 3x_1 + 0x_2 + 4x_3 - 24 = 0 \). Hier sind \( A = 3 \), \( B = 0 \), \( C = 4 \) und \( D = -24 \). Der Abstand ist gegeben durch: \[ \text{Abstand} = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}. \] Setzen wir die Koordinaten von \( P(5, -3, -4) \) ein: \[ \text{Abstand} = \frac{|3(5) + 0(-3) + 4(-4) - 24|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}} = \frac{|15 - 16 - 24|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-25|}{5} = 5. \] Der Abstand von Punkt \( P \) zur Ebene \( E \) beträgt also 5. Um einen weiteren Punkt \( Q \) zu bestimmen, der den gleichen Abstand hat, können wir zu \( P \) in Richtung der Normalen der Ebene \( \vec{n} = (3, 0, 4) \) verschieben. Ein Einheitsvektor in diese Richtung ist \( \vec{n}_{\text{einheit}} = \frac{1}{5}(3, 0, 4) = \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right) \). Für Punkt \( Q \) verschieben wir \( P \): \[ Q = P + 5\vec{n}_{\text{einheit}} = \left(5 + 3, -3 + 0, -4 + 4 \right) = (8, -3, 0). \] Somit liegt der Punkt \( Q(8|-3|0) \) ebenfalls in einem Abstand von 5 von der Ebene \( E \).