Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( P(5|-3|-4) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 3 x_{1}+4 x_{3}=24 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat. 1.25

Um den Abstand des Punktes \( P(5, -3, -4) \) von der Ebene \( \mathrm{E}: 3 x_{1} + 4 x_{3} = 24 \) zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die allgemeine Form der Ebene ist \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Wir müssen die Gleichung der Ebene in diese Form umschreiben. ### Schritt 1: Umformung der Ebenengleichung Die gegebene Ebenengleichung ist: \[ 3 x_{1} + 0 x_{2} + 4 x_{3} - 24 = 0 \] Hierbei sind \( A = 3 \), \( B = 0 \), \( C = 4 \) und \( D = -24 \). ### Schritt 2: Abstand berechnen Der Abstand \( d \) eines Punktes \( P(x_0, y_0, z_0) \) von der Ebene \( Ax + By + Cz + D = 0 \) wird durch die Formel gegeben: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Setzen wir die Koordinaten des Punktes \( P(5, -3, -4) \) in die Formel ein. ### Schritt 3: Berechnung der Werte - \( x_0 = 5 \) - \( y_0 = -3 \) - \( z_0 = -4 \) Berechnen wir den Zähler: \[ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 3(5) + 0(-3) + 4(-4) - 24 \] \[ = 15 + 0 - 16 - 24 = -25 \] Der Betrag ist: \[ |Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D| = |-25| = 25 \] Berechnen wir den Nenner: \[ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] ### Schritt 4: Abstand Setzen wir die Werte in die Abstandsgleichung ein: \[ d = \frac{25}{5} = 5 \] ### Schritt 5: Punkt Q finden Um einen weiteren Punkt \( Q \) zu finden, der den gleichen Abstand von der Ebene hat, können wir einen Punkt entlang der Normalen der Ebene verschieben. Die Normalenrichtung ist gegeben durch den Normalenvektor \( \vec{n} = (3, 0, 4) \). Ein Punkt \( Q \) kann gefunden werden, indem wir \( P \) um den Abstand \( d = 5 \) in Richtung der Normalen verschieben. Wir berechnen den Einheitsvektor der Normalen: \[ \vec{n}_{\text{einheit}} = \frac{1}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}}(3, 0, 4) = \frac{1}{5}(3, 0, 4) = \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right) \] Nun verschieben wir \( P \) um \( 5 \) Einheiten in Richtung der Normalen: \[ Q = P + 5 \cdot \vec{n}_{\text{einheit}} = (5, -3, -4) + 5 \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right) = (5 + 3, -3 + 0, -4 + 4) = (8, -3, 0) \] ### Ergebnis Der Abstand des Punktes \( P(5, -3, -4) \) von der Ebene \( \mathrm{E} \) beträgt \( 5 \). Ein weiterer Punkt \( Q \), der den gleichen Abstand zur Ebene hat, ist \( Q(8, -3, 0) \).