$$ z - \int \frac { \frac { 1 } { e ^ { x } } } { \frac { 1 + x } { e ^ { 4 x } } } $$

Question

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Primero, simplifiquemos la expresión dentro de la integral:

$$
\frac{\frac{1}{e^{x}}}{\frac{1 + x}{e^{4x}}} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{e^{4x}}{1 + x} = \frac{e^{3x}}{1 + x}
$$

Por lo tanto, la expresión completa se reduce a:

$$
z - \int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx
$$

Ahora, resolvamos la integral $$\int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx$$:

1. **Sustitución:**
   Sea $$u = 1 + x$$, entonces $$du = dx$$.

2. **Reescribir la integral en términos de $$u$$:**
   $$
   \int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx = \int \frac{e^{3(u - 1)}}{u} \, du = e^{-3} \int \frac{e^{3u}}{u} \, du
   $$

3. **Integral de la función exponencial:**
   La integral $$\int \frac{e^{3u}}{u} \, du$$ no tiene una antiderivada en términos de funciones elementales. Se expresa mediante la **Función Integral Exponencial**, denotada como $$\text{Ei}(x)$$. Así:

$$
   \int \frac{e^{3u}}{u} \, du = \text{Ei}(3u) + C
   $$

Donde $$C$$ es la constante de integración.

4. **Sustituyendo de vuelta $$u = 1 + x$$:**
   $$
   e^{-3} \int \frac{e^{3u}}{u} \, du = e^{-3} \text{Ei}(3(1 + x)) + C
   $$

Finalmente, la expresión completa es:

$$
z - e^{-3} \, \text{Ei}(3(1 + x)) + C
$$

**Donde:**
- $$C$$ es la constante de integración.
- $$\text{Ei}(x)$$ es la Función Integral Exponencial, definida como:

$$
\text{Ei}(x) = -\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} \, dt \quad \text{para } x > 0
$$

Esta función es ampliamente utilizada en matemáticas y física para expresar integrales que no pueden resolverse mediante funciones elementales.
La integral se simplifica a $$ z - e^{-3} \, \text{Ei}(3(1 + x)) + C $$, donde $$ C $$ es una constante y $$\text{Ei}(x)$$ es la Función Integral Exponencial.

\( z - \int \frac { \frac { 1 } { e ^ { x } } } { \frac { 1 + x } { e ^ { 4 x } } } \)

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