\( z - \int \frac { \frac { 1 } { e ^ { x } } } { \frac { 1 + x } { e ^ { 4 x } } } \)

Primero, simplifiquemos la expresión dentro de la integral: \[ \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\frac{1 + x}{e^{4x}}} = \frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{e^{4x}}{1 + x} = \frac{e^{3x}}{1 + x} \] Por lo tanto, la expresión completa se reduce a: \[ z - \int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx \] Ahora, resolvamos la integral \(\int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx\): 1. **Sustitución:** Sea \(u = 1 + x\), entonces \(du = dx\). 2. **Reescribir la integral en términos de \(u\):** \[ \int \frac{e^{3x}}{1 + x} \, dx = \int \frac{e^{3(u - 1)}}{u} \, du = e^{-3} \int \frac{e^{3u}}{u} \, du \] 3. **Integral de la función exponencial:** La integral \(\int \frac{e^{3u}}{u} \, du\) no tiene una antiderivada en términos de funciones elementales. Se expresa mediante la **Función Integral Exponencial**, denotada como \(\text{Ei}(x)\). Así: \[ \int \frac{e^{3u}}{u} \, du = \text{Ei}(3u) + C \] Donde \(C\) es la constante de integración. 4. **Sustituyendo de vuelta \(u = 1 + x\):** \[ e^{-3} \int \frac{e^{3u}}{u} \, du = e^{-3} \text{Ei}(3(1 + x)) + C \] Finalmente, la expresión completa es: \[ z - e^{-3} \, \text{Ei}(3(1 + x)) + C \] **Donde:** - \(C\) es la constante de integración. - \(\text{Ei}(x)\) es la Función Integral Exponencial, definida como: \[ \text{Ei}(x) = -\int_{-x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} \, dt \quad \text{para } x > 0 \] Esta función es ampliamente utilizada en matemáticas y física para expresar integrales que no pueden resolverse mediante funciones elementales.