\( \mathbf{1}^{a} \) Questão \( (0,6 \) ponto \( )-\mathrm{Em} \) uma progressão aritmética \( \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}, \ldots\right) \) sabe-se que \( a_{3}+a_{5}+a_{9}=31 \) e que \( a_{2}+a_{4}+a_{7}+a_{12}=53 \). Determine: a)(0,2) o \( 2025^{\circ} \) termo da progressão. b)(0,2) se o número 3982 pertence à progressão. Em caso afirmativo, indique sua posição na PA.

Para resolver a questão, vamos utilizar as propriedades de uma progressão aritmética (PA). Na PA, o enésimo termo pode ser expresso como: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão da PA. A partir das informações dadas: 1. Para a soma \( a_3 + a_5 + a_9 \): \[ a_3 = a_1 + 2d \] \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ a_9 = a_1 + 8d \] Assim, temos: \[ (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 31 \] \[ 3a_1 + 14d = 31 \quad \text{(equação 1)} \] 2. Para a soma \( a_2 + a_4 + a_7 + a_{12} \): \[ a_2 = a_1 + d \] \[ a_4 = a_1 + 3d \] \[ a_7 = a_1 + 6d \] \[ a_{12} = a_1 + 11d \] Assim, temos: \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 6d) + (a_1 + 11d) = 53 \] \[ 4a_1 + 21d = 53 \quad \text{(equação 2)} \] Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Multiplicando a Equação 1 por 4: \[ 12a_1 + 56d = 124 \quad \text{(equação 3)} \] E multiplicando a Equação 2 por 3: \[ 12a_1 + 63d = 159 \quad \text{(equação 4)} \] Agora, subtraindo a equação 3 da equação 4: \[ (12a_1 + 63d) - (12a_1 + 56d) = 159 - 124 \] \[ 7d = 35 \rightarrow d = 5 \] Substituindo \( d \) na equação 1: \[ 3a_1 + 14(5) = 31 \] \[ 3a_1 + 70 = 31 \rightarrow 3a_1 = -39 \rightarrow a_1 = -13 \] Agora podemos determinar o 2025º termo da PA: \[ a_{2025} = a_1 + (2025-1)d = -13 + 2024 \times 5 = -13 + 10120 = 10107 \] Para a pergunta se o número 3982 pertence à progressão, fazemos: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \rightarrow 3982 = -13 + (n-1) \cdot 5 \] \[ 3982 + 13 = (n-1) \cdot 5 \rightarrow 3995 = (n-1) \cdot 5 \] \[ n - 1 = \frac{3995}{5} \rightarrow n - 1 = 799 \rightarrow n = 800 \] Portanto, o número 3982 pertence à PA e está na posição 800. Resumindo: a) O \( 2025^{\circ} \) termo da progressão é \( 10107 \). b) O número 3982 pertence à progressão na posição \( 800 \).