6) El piloto de un avión observa la torre de control de un aeropuerto con un ángulo de depresión de $$ 30^{\circ} $$ Después de avanzar 600 m , el nuevo ángulo con que observa la torre es de $$ 60^{\circ} $$. ¿A qué altura se encuentra volando el avión respecto a la parte superior de la torre?

Question

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Para resolver el problema, vamos a utilizar la trigonometría y los ángulos de depresión.

1. **Definimos las variables**:
   - Sea $$ h $$ la altura de la torre.
   - Sea $$ H $$ la altura del avión respecto al nivel del suelo.
   - La altura del avión respecto a la parte superior de la torre será $$ H - h $$.

2. **Situación inicial**:
   - El piloto observa la torre con un ángulo de depresión de $$ 30^{\circ} $$. Esto significa que si trazamos una línea horizontal desde el avión, el ángulo que forma con la línea que va hacia la torre es de $$ 30^{\circ} $$.
   - Llamemos $$ d_1 $$ a la distancia horizontal desde el avión hasta la base de la torre en este momento.

Usando la tangente del ángulo de depresión:
   $$
   \tan(30^{\circ}) = \frac{h}{H}
   $$
   Sabemos que $$ \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$, por lo que:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{H} \implies H = h \sqrt{3}
   $$

3. **Situación después de avanzar 600 m**:
   - Después de avanzar 600 m, el nuevo ángulo de depresión es de $$ 60^{\circ} $$.
   - La nueva distancia horizontal desde el avión hasta la base de la torre es $$ d_2 = d_1 + 600 $$.

Usando la tangente del nuevo ángulo de depresión:
   $$
   \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{H}
   $$
   Sabemos que $$ \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} $$, por lo que:
   $$
   \sqrt{3} = \frac{h}{H - 600} \implies H - 600 = \frac{h}{\sqrt{3}} \implies H = \frac{h}{\sqrt{3}} + 600
   $$

4. **Igualamos las dos expresiones para $$ H $$**:
   $$
   h \sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}} + 600
   $$

Multiplicamos toda la ecuación por $$ \sqrt{3} $$ para eliminar el denominador:
   $$
   3h = h + 600\sqrt{3}
   $$
   Simplificamos:
   $$
   2h = 600\sqrt{3} \implies h = 300\sqrt{3}
   $$

5. **Calculamos la altura del avión**:
   Sustituyendo $$ h $$ en la expresión para $$ H $$:
   $$
   H = h \sqrt{3} = 300\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 300 \cdot 3 = 900 \text{ m}
   $$

6. **Altura del avión respecto a la parte superior de la torre**:
   La altura del avión respecto a la parte superior de la torre es:
   $$
   H - h = 900 - 300\sqrt{3}
   $$

Para calcular $$ 300\sqrt{3} $$:
   $$
   \sqrt{3} \approx 1.732 \implies 300\sqrt{3} \approx 300 \cdot 1.732 \approx 519.6 \text{ m}
   $$

Por lo tanto:
   $$
   H - h \approx 900 - 519.6 \approx 380.4 \text{ m}
   $$

Finalmente, la altura a la que se encuentra volando el avión respecto a la parte superior de la torre es aproximadamente **380.4 m**.
La altura del avión respecto a la parte superior de la torre es aproximadamente 380.4 m.

El piloto de un avión
observa la torre de control
de un aeropuerto con un
ángulo de depresión de
Después de avanzar 600 m ,
el nuevo ángulo con que
observa la torre es de .
¿A qué altura se encuentra
volando el avión respecto a la parte superior de la torre?

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El piloto de un avión observa la torre de control de un aeropuerto con un ángulo de depresión de Después de avanzar 600 m , el nuevo ángulo con que observa la torre es de . ¿A qué altura se encuentra volando el avión respecto a la parte superior de la torre?