8. a) $$ \sqrt{3 x^{2}-2 x+15}+\sqrt{3 x^{2}-2 x+8}=7 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
\sqrt{3x^{2} - 2x + 15} + \sqrt{3x^{2} - 2x + 8} = 7
$$

Обозначим:

$$
y = \sqrt{3x^{2} - 2x + 15}
$$
$$
z = \sqrt{3x^{2} - 2x + 8}
$$

Тогда уравнение можно переписать как:

$$
y + z = 7
$$

Теперь выразим $$y$$ через $$z$$:

$$
y = 7 - z
$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$
(7 - z)^{2} = 3x^{2} - 2x + 15
$$

Раскроем скобки:

$$
49 - 14z + z^{2} = 3x^{2} - 2x + 15
$$

Теперь выразим $$z^{2}$$:

$$
z^{2} = 3x^{2} - 2x + 8
$$

Подставим это значение в уравнение:

$$
49 - 14z + (3x^{2} - 2x + 8) = 3x^{2} - 2x + 15
$$

Упростим уравнение:

$$
49 - 14z + 3x^{2} - 2x + 8 = 3x^{2} - 2x + 15
$$

Сократим $$3x^{2} - 2x$$ с обеих сторон:

$$
49 - 14z + 8 = 15
$$

Упростим:

$$
57 - 14z = 15
$$

Переносим 57 на правую сторону:

$$
-14z = 15 - 57
$$
$$
-14z = -42
$$

Делим обе стороны на -14:

$$
z = 3
$$

Теперь подставим значение $$z$$ обратно, чтобы найти $$y$$:

$$
y = 7 - z = 7 - 3 = 4
$$

Теперь у нас есть:

$$
\sqrt{3x^{2} - 2x + 15} = 4
$$
$$
\sqrt{3x^{2} - 2x + 8} = 3
$$

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

1. Для первого уравнения:

$$
3x^{2} - 2x + 15 = 16
$$
$$
3x^{2} - 2x - 1 = 0
$$

2. Для второго уравнения:

$$
3x^{2} - 2x + 8 = 9
$$
$$
3x^{2} - 2x - 1 = 0
$$

Теперь решим квадратное уравнение $$3x^{2} - 2x - 1 = 0$$ с помощью формулы корней:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
$$

где $$a = 3$$, $$b = -2$$, $$c = -1$$:

$$
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}
$$
$$
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6}
$$
$$
x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}
$$
$$
x = \frac{2 \pm 4}{6}
$$

Теперь найдем два корня:

1. $$x = \frac{6}{6} = 1$$
2. $$x = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$

Таким образом, решения уравнения:

$$
x = 1 \quad \text{и} \quad x = -\frac{1}{3}
$$
Решения уравнения: $$x = 1$$ и $$x = -\frac{1}{3}$$.

a)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions