3. Simplifique la expresión $$ P(x)=\frac{x^{4}-10 x^{2}+169}{x^{2}+6 x+13} $$ Dé como respuesta la suma de coeficien- tes del numerador $$ y $$ del denominador. $$ \begin{array}{lll}\text { A) } 9 & \text { B) } 8 & \text { C) } 20 \ \text { D) } 21 & \text { E) } 22 & \end{array} $$

Question

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Para simplificar la expresión:

$$
P(x) = \frac{x^{4} - 10x^{2} + 169}{x^{2} + 6x + 13}
$$

**Paso 1: Realizar la división polinómica**

Dividimos el numerador $$ x^{4} - 10x^{2} + 169 $$ entre el denominador $$ x^{2} + 6x + 13 $$.

1. **Primera división:**
   $$
   \frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}
   $$
   Multiplicamos el divisor por $$ x^{2} $$:
   $$
   x^{2}(x^{2} + 6x + 13) = x^{4} + 6x^{3} + 13x^{2}
   $$
   Restamos este resultado del numerador original:
   $$
   (x^{4} - 10x^{2} + 169) - (x^{4} + 6x^{3} + 13x^{2}) = -6x^{3} - 23x^{2} + 169
   $$

2. **Segunda división:**
   $$
   \frac{-6x^{3}}{x^{2}} = -6x
   $$
   Multiplicamos el divisor por $$ -6x $$:
   $$
   -6x(x^{2} + 6x + 13) = -6x^{3} - 36x^{2} - 78x
   $$
   Restamos:
   $$
   (-6x^{3} - 23x^{2} + 169) - (-6x^{3} - 36x^{2} - 78x) = 13x^{2} + 78x + 169
   $$

3. **Tercera división:**
   $$
   \frac{13x^{2}}{x^{2}} = 13
   $$
   Multiplicamos el divisor por $$ 13 $$:
   $$
   13(x^{2} + 6x + 13) = 13x^{2} + 78x + 169
   $$
   Restamos:
   $$
   (13x^{2} + 78x + 169) - (13x^{2} + 78x + 169) = 0
   $$

La división es exacta, lo que nos da:
$$
P(x) = x^{2} - 6x + 13
$$

**Paso 2: Calcular la suma de los coeficientes**

Para el polinomio simplificado $$ P(x) = x^{2} - 6x + 13 $$:
$$
\text{Suma de coeficientes} = 1 + (-6) + 13 = 8
$$

**Respuesta correcta: B) 8**
La suma de los coeficientes del numerador y del denominador es 8.

Simplifique la expresión

Dé como respuesta la suma de coeficien-
tes del numerador del denominador.

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Simplifique la expresión Dé como respuesta la suma de coeficien- tes del numerador del denominador.