Ejercicio l: El $$ 30 \% $$ de los clientes compra zapatillas de tela, mientras que el resto elige las de cuero. Entre los clientes que compran zapatillas de cuero, el $$ 80 \% $$ paga sus compras con tarjeta de crédito, mientras que entre los otros clientes. sólo el $$ 60 \% $$ elige este medio de pago. a) Si se elige un cliente al azar y se verifica que no pagó con tarjeta de crédito, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya comprado zapatillas de tela? b) Si se eligen al azar 4 clientes. ¿Cual es la probabilidad de que menos de 2 o por lo menos 4 hayan comprado zapatillas de cuero?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea $$ T $$ el evento de que un cliente compre zapatillas de tela y $$ C $$ el de que compre zapatillas de cuero. Se tiene:

- $$ P(T)=0.30 $$ y $$ P(C)=0.70 $$.
- Para los clientes que compran zapatillas de tela, $$ P(\text{tarjeta} \mid T)=0.60 $$ y, por tanto, $$ P(\text{no tarjeta} \mid T)=0.40 $$.
- Para los clientes que compran zapatillas de cuero, $$ P(\text{tarjeta} \mid C)=0.80 $$ y, por tanto, $$ P(\text{no tarjeta} \mid C)=0.20 $$.

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### Apartado a)

Se requiere hallar la probabilidad de que un cliente no haya comprado zapatillas de tela, dado que no pagó con tarjeta. Esto es, calcular

$$
P(C \mid \text{no tarjeta}).
$$

Utilizamos el teorema de Bayes, para lo cual primero determinamos la probabilidad total de que un cliente no pague con tarjeta:

$$
P(\text{no tarjeta}) = P(T)\,P(\text{no tarjeta} \mid T) + P(C)\,P(\text{no tarjeta} \mid C).
$$

Sustituyendo los valores:

$$
P(\text{no tarjeta}) = 0.30 \times 0.40 + 0.70 \times 0.20 = 0.12 + 0.14 = 0.26.
$$

La probabilidad conjunta de que un cliente compre zapatillas de cuero y no pague con tarjeta es:

$$
P(C \cap \text{no tarjeta}) = P(C)\,P(\text{no tarjeta} \mid C) = 0.70 \times 0.20 = 0.14.
$$

Entonces, aplicando el teorema de Bayes:

$$
P(C \mid \text{no tarjeta}) = \frac{P(C \cap \text{no tarjeta})}{P(\text{no tarjeta})} = \frac{0.14}{0.26} \approx 0.5385.
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que, dado que un cliente no pagó con tarjeta, no haya comprado zapatillas de tela (lo que implica que compró de cuero) es aproximadamente $$ 53.85\% $$.

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### Apartado b)

Se eligen al azar 4 clientes. Sea $$ X $$ la cantidad de clientes que hayan comprado zapatillas de cuero. Como cada cliente compra de cuero con probabilidad $$ 0.70 $$, $$ X $$ sigue una distribución binomial $$ \text{Bin}(4, 0.70) $$.

Se pide hallar la probabilidad de que menos de 2 o por lo menos 4 hayan comprado zapatillas de cuero, es decir,

$$
P\left(X<2 \text{ o } X\ge4\right)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=4).
$$

Recordamos que para una binomial:

$$
P(X=k) = \binom{4}{k}(0.70)^k(0.30)^{4-k}.
$$

Calculamos cada término:

1. Para $$ k=0 $$:

$$
P(X=0)=\binom{4}{0}(0.70)^0(0.30)^4 = 1 \times 1 \times 0.30^4 = 0.0081.
$$

2. Para $$ k=1 $$:

$$
P(X=1)=\binom{4}{1}(0.70)^1(0.30)^3 = 4 \times 0.70 \times 0.027 = 4 \times 0.0189 = 0.0756.
$$

3. Para $$ k=4 $$:

$$
P(X=4)=\binom{4}{4}(0.70)^4(0.30)^0 = 1 \times 0.70^4 \times 1 = 0.2401.
$$

Sumamos las probabilidades:

$$
P\left(X<2 \text{ o } X\ge4\right)=0.0081+0.0756+0.2401=0.3238.
$$

Por lo tanto, la probabilidad de que entre 4 clientes menos de 2 o por lo menos 4 hayan comprado zapatillas de cuero es aproximadamente $$ 32.38\% $$.
### Parte a) La probabilidad de que un cliente no haya comprado zapatillas de tela, dado que no pagó con tarjeta de crédito, es aproximadamente **53.85%**. ### Parte b) La probabilidad de que entre 4 clientes, menos de 2 o por lo menos 4 hayan comprado zapatillas de cuero es aproximadamente **32.38%**.

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Answer

Parte a)

Parte b)

Solution

Apartado a)

Apartado b)

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