Parte 3: Traza la gráfica para cada una de las siguientes funciones seccionadas y da el dominio y rango para cada caso 7. \( f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+1, x<1 \\ 5-x, x \geq 1\end{array}\right. \)

Para la función por partes dada: \[ f(x) = \begin{cases} 3x + 1, & \text{si } x < 1 \\ 5 - x, & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] ### Traza de la Gráfica **1. Para \( x < 1 \): \( f(x) = 3x + 1 \)** - **Pendiente (m):** 3 - **Intersección con el eje Y (b):** 1 - **Comportamiento:** Es una línea recta que aumenta con una pendiente de 3. - **Punto de transición:** Al acercarse a \( x = 1 \) desde la izquierda, \( f(1^-) = 3(1) + 1 = 4 \). **2. Para \( x \geq 1 \): \( f(x) = 5 - x \)** - **Pendiente (m):** -1 - **Intersección con el eje Y (b):** 5 - **Comportamiento:** Es una línea recta que disminuye con una pendiente de -1. - **Punto de inicio:** En \( x = 1 \), \( f(1) = 5 - 1 = 4 \). **Punto de Unión:** - Ambas ramas de la función se conectan en el punto \( (1, 4) \), asegurando continuidad en este punto. **Representación Gráfica:** Aunque no puedo proporcionar una gráfica visual aquí, puedes seguir estos pasos para graficarla: 1. **Dibuja el área para \( x < 1 \):** - Plota dos puntos, por ejemplo, \( x = 0 \Rightarrow f(0) = 1 \) y \( x = 1 \Rightarrow f(1^-) = 4 \). - Dibuja una línea recta que pase por estos puntos. Usa un círculo abierto en \( (1,4) \) para indicar que \( x < 1 \). 2. **Dibuja el área para \( x \geq 1 \):** - Plota dos puntos, por ejemplo, \( x = 1 \Rightarrow f(1) = 4 \) y \( x = 2 \Rightarrow f(2) = 3 \). - Dibuja una línea recta que pase por estos puntos. Usa un círculo cerrado en \( (1,4) \) para indicar que \( x \geq 1 \). 3. **Unión de las dos ramas:** - Asegúrate de que ambas ramas se conecten en \( (1,4) \). ### Dominio y Rango - **Dominio:** El conjunto de todos los valores posibles de \( x \) para los cuales está definida la función. \[ \text{Dominio} = \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales}) \] - **Rango:** El conjunto de todos los valores posibles de \( f(x) \). - **Para \( x < 1 \):** \( f(x) = 3x + 1 \) puede tomar cualquier valor menor o igual a 4 cuando \( x \) se acerca a 1 desde la izquierda. - **Para \( x \geq 1 \):** \( f(x) = 5 - x \) puede tomar cualquier valor menor o igual a 4 cuando \( x \) crece sin límite. \[ \text{Rango} = (-\infty, 4] \] ### Resumen - **Dominio:** \( \mathbb{R} \) (todos los números reales). - **Rango:** \( (-\infty, 4] \). - **Gráfica:** Consiste en dos líneas rectas que se unen en el punto \( (1,4) \): - Una línea con pendiente positiva para \( x < 1 \). - Una línea con pendiente negativa para \( x \geq 1 \).