Parte 3: Traza la gráfica para cada una de las siguientes funciones
seccionadas y da el dominio y rango para cada caso
7.

Ask by Craig Barrett. in Mexico

Jan 24,2025

Question

Parte 3: Traza la gráfica para cada una de las siguientes funciones seccionadas y da el dominio y rango para cada caso 7. $$ f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 x+1, x<1 \ 5-x, x \geq 1\end{array}ight. $$

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Para la función por partes dada:

$$
f(x) = \begin{cases}
3x + 1, & \text{si } x < 1 \
5 - x, & \text{si } x \geq 1
\end{cases}
$$

### Traza de la Gráfica

**1. Para $$ x < 1 $$: $$ f(x) = 3x + 1 $$**
- **Pendiente (m):** 3
- **Intersección con el eje Y (b):** 1
- **Comportamiento:** Es una línea recta que aumenta con una pendiente de 3.
- **Punto de transición:** Al acercarse a $$ x = 1 $$ desde la izquierda, $$ f(1^-) = 3(1) + 1 = 4 $$.

**2. Para $$ x \geq 1 $$: $$ f(x) = 5 - x $$**
- **Pendiente (m):** -1
- **Intersección con el eje Y (b):** 5
- **Comportamiento:** Es una línea recta que disminuye con una pendiente de -1.
- **Punto de inicio:** En $$ x = 1 $$, $$ f(1) = 5 - 1 = 4 $$.

**Punto de Unión:**
- Ambas ramas de la función se conectan en el punto $$ (1, 4) $$, asegurando continuidad en este punto.

**Representación Gráfica:**

Aunque no puedo proporcionar una gráfica visual aquí, puedes seguir estos pasos para graficarla:

1. **Dibuja el área para $$ x < 1 $$:**
   - Plota dos puntos, por ejemplo, $$ x = 0 \Rightarrow f(0) = 1 $$ y $$ x = 1 \Rightarrow f(1^-) = 4 $$.
   - Dibuja una línea recta que pase por estos puntos. Usa un círculo abierto en $$ (1,4) $$ para indicar que $$ x < 1 $$.

2. **Dibuja el área para $$ x \geq 1 $$:**
   - Plota dos puntos, por ejemplo, $$ x = 1 \Rightarrow f(1) = 4 $$ y $$ x = 2 \Rightarrow f(2) = 3 $$.
   - Dibuja una línea recta que pase por estos puntos. Usa un círculo cerrado en $$ (1,4) $$ para indicar que $$ x \geq 1 $$.

3. **Unión de las dos ramas:**
   - Asegúrate de que ambas ramas se conecten en $$ (1,4) $$.

### Dominio y Rango

- **Dominio:** El conjunto de todos los valores posibles de $$ x $$ para los cuales está definida la función.
  
  $$
  \text{Dominio} = \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales})
  $$

- **Rango:** El conjunto de todos los valores posibles de $$ f(x) $$.

- **Para $$ x < 1 $$:** $$ f(x) = 3x + 1 $$ puede tomar cualquier valor menor o igual a 4 cuando $$ x $$ se acerca a 1 desde la izquierda.
  - **Para $$ x \geq 1 $$:** $$ f(x) = 5 - x $$ puede tomar cualquier valor menor o igual a 4 cuando $$ x $$ crece sin límite.
  
  $$
  \text{Rango} = (-\infty, 4]
  $$

### Resumen

- **Dominio:** $$ \mathbb{R} $$ (todos los números reales).
- **Rango:** $$ (-\infty, 4] $$.
- **Gráfica:** Consiste en dos líneas rectas que se unen en el punto $$ (1,4) $$:
  - Una línea con pendiente positiva para $$ x < 1 $$.
  - Una línea con pendiente negativa para $$ x \geq 1 $$.
La función $$ f(x) $$ está definida por dos partes: 1. Para $$ x < 1 $$: $$ f(x) = 3x + 1 $$ 2. Para $$ x \geq 1 $$: $$ f(x) = 5 - x $$ **Gráfica:** - Una línea recta con pendiente positiva que pasa por $$ (0,1) $$ y $$ (1,4) $$ para $$ x < 1 $$. - Una línea recta con pendiente negativa que pasa por $$ (1,4) $$ y $$ (2,3) $$ para $$ x \geq 1 $$. **Dominio:** Todos los números reales ($$ \mathbb{R} $$). **Rango:** Todos los números reales menores o iguales a 4 ($$ (-\infty, 4] $$).

Parte 3: Traza la gráfica para cada una de las siguientes funciones
seccionadas y da el dominio y rango para cada caso
7.

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