Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione \( x^{2}+\frac{3}{4} y^{2}=1 \) nel suo punto di coordinate \[ \left(\frac{1}{2} ; 1\right) \] \[ [2 x+3 y-4=0] \]

Per determinare l'equazione della retta tangente all'ellisse data nel punto specificato, è utile calcolare la derivata implicita dell'equazione dell'ellisse. L'equazione di partenza è \( x^{2} + \frac{3}{4} y^{2} = 1 \). Differenziando rispetto a \( x \), otteniamo: \[ 2x + \frac{3}{2}y \frac{dy}{dx} = 0 \] Da qui, isoliamo \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\frac{3}{2}y} = -\frac{4x}{3y} \] Sostituiamo il punto \( \left(\frac{1}{2}, 1\right) \) nell'equazione della derivata per trovare la pendenza: \[ \frac{dy}{dx} \Big|_{\left(\frac{1}{2}, 1\right)} = -\frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{3 \cdot 1} = -\frac{2}{3} \] Ora sappiamo che la pendenza della retta tangente è \(-\frac{2}{3}\). Usando la formula della retta in forma punto-pendenza, otteniamo: \[ y - 1 = -\frac{2}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right) \] Semplificando, possiamo elevarci nella forma standard dell'equazione della retta, ottenendo: \[ 2x + 3y - 4 = 0 \] Voilà! La retta tangente è proprio corretta.