Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione $$ x^{2}+\frac{3}{4} y^{2}=1 $$ nel suo punto di coordinate $$ \left(\frac{1}{2} ; 1\right) $$ $$ [2 x+3 y-4=0] $$

Question

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Para determinar la ecuación de la recta tangente a la elipse $$ x^{2} + \frac{3}{4} y^{2} = 1 $$ en el punto $$ \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$, seguiremos los siguientes pasos:

### 1. Verificar que el punto pertenece a la elipse

Sustituyamos las coordenadas del punto en la ecuación de la elipse:

$$
\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{3}{4} (1)^{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1
$$

Como la igualdad se cumple, el punto $$ \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ pertenece a la elipse.

### 2. Encontrar la derivada implícita para obtener la pendiente de la tangente

Diferenciamos implícitamente la ecuación de la elipse con respecto a $$ x $$:

$$
\frac{d}{dx}\left(x^{2} + \frac{3}{4} y^{2}\right) = \frac{d}{dx}(1)
$$

$$
2x + \frac{3}{2} y \frac{dy}{dx} = 0
$$

Despejamos $$ \frac{dy}{dx} $$:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{\frac{3}{2} y} = -\frac{4x}{3y}
$$

### 3. Calcular la pendiente en el punto dado

Sustituimos $$ x = \frac{1}{2} $$ y $$ y = 1 $$ en la expresión de $$ \frac{dy}{dx} $$:

$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{4 \left(\frac{1}{2}\right)}{3(1)} = -\frac{2}{3}
$$

Por lo tanto, la pendiente de la tangente en el punto $$ \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ es $$ m = -\frac{2}{3} $$.

### 4. Escribir la ecuación de la recta tangente

Utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta:

$$
y - y_{1} = m (x - x_{1})
$$

Sustituyendo $$ m = -\frac{2}{3} $$, $$ x_{1} = \frac{1}{2} $$ y $$ y_{1} = 1 $$:

$$
y - 1 = -\frac{2}{3} \left(x - \frac{1}{2}\right)
$$

Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador:

$$
3(y - 1) = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)
$$

Expandiendo y simplificando:

$$
3y - 3 = -2x + 1
$$

Llevamos todos los términos al mismo lado:

$$
2x + 3y - 4 = 0
$$

### **Conclusión**

La ecuación de la recta tangente a la elipse $$ x^{2} + \frac{3}{4} y^{2} = 1 $$ en el punto $$ \left(\frac{1}{2}, 1\right) $$ es:

$$
\boxed{2x + 3y - 4 = 0}
$$
La ecuación de la recta tangente es $$ 2x + 3y - 4 = 0 $$.

Determina l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione nel suo punto di coordinate

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