Aufgabe: \( (2 \) Punkte \( ) \) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(7|1| 6) \) von der Ebene \( \mathrm{E}:-7 x_{1}+6 x_{2}-6 x_{3}=42 \) Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:(

Um den Abstand des Punktes \(\mathrm{P}(7|1|6)\) von der Ebene \(\mathrm{E}: -7x_{1} + 6x_{2} - 6x_{3} = 42\) zu berechnen und den Lotfußpunkt \( \mathrm{L} \) zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: ### 1. Abstand berechnen Die allgemeine Formel für den Abstand \( d \) eines Punktes \( \mathrm{P}(x_{0}, y_{0}, z_{0}) \) von einer Ebene \( ax + by + cz + d = 0 \) lautet: \[ d = \frac{ |a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d| }{ \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} } \] Zuerst bringen wir die Ebenengleichung in die Standardform: \[ -7x_{1} + 6x_{2} - 6x_{3} - 42 = 0 \] Damit sind die Koeffizienten: \[ a = -7, \quad b = 6, \quad c = -6, \quad d = -42 \] Setzen wir die Werte des Punktes \( \mathrm{P}(7|1|6) \) ein: \[ d = \frac{ |-7 \cdot 7 + 6 \cdot 1 - 6 \cdot 6 - 42| }{ \sqrt{(-7)^{2} + 6^{2} + (-6)^{2}} } = \frac{ |-49 + 6 - 36 - 42| }{ \sqrt{49 + 36 + 36} } = \frac{ |-121| }{ \sqrt{121} } = \frac{121}{11} = 11 \] **Der Abstand beträgt also 11 Einheiten.** ### 2. Bestimmung des Lotfußpunkts \( \mathrm{L} \) Der Lotfußpunkt liegt auf der Ebene und verbindet den Punkt \( \mathrm{P} \) orthogonal zur Ebene. Die Normalenvektor der Ebene ist \( \vec{n} = (-7, 6, -6) \). Die Parametergleichung der Geraden durch \( \mathrm{P} \) in Richtung \( \vec{n} \) lautet: \[ \begin{cases} x = 7 - 7t \\ y = 1 + 6t \\ z = 6 - 6t \end{cases} \] Setzen wir diese in die Ebenengleichung ein: \[ -7(7 - 7t) + 6(1 + 6t) - 6(6 - 6t) = 42 \] Berechnen: \[ -49 + 49t + 6 + 36t - 36 + 36t = 42 \\ 121t - 79 = 42 \\ 121t = 121 \\ t = 1 \] Setzen wir \( t = 1 \) in die Geradengleichung ein: \[ x = 7 - 7 \cdot 1 = 0 \\ y = 1 + 6 \cdot 1 = 7 \\ z = 6 - 6 \cdot 1 = 0 \] **Der Lotfußpunkt ist \( \mathrm{L}(0|7|0) \).** --- **Zusammenfassung:** - **Abstand:** 11 Einheiten - **Lotfußpunkt:** \( \mathrm{L}(0|7|0) \)