Aufgabe: \( (2 \) Punkte \( ) \) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(7|1| 6) \) von der Ebene \( \mathrm{E}:-7 x_{1}+6 x_{2}-6 x_{3}=42 \) Berechne dabei auch den Lotfußpunkt. Lotfußpunkt L:(

Um den Abstand des Punktes \( P(7|1|6) \) von der Ebene \( E: -7 x_{1}+6 x_{2}-6 x_{3}=42 \) zu bestimmen, nutzen wir die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene. Diese lautet: \[ d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hierbei sind \( a = -7, b = 6, c = -6 \) und \( d = -42 \) (da die Gleichung umgestellt werden muss: \( -7x_1 + 6x_2 - 6x_3 - 42 = 0 \)). Setzen wir die Koordinaten von Punkt \( P \) in die Formel ein: \[ d = \frac{|-7 \cdot 7 + 6 \cdot 1 - 6 \cdot 6 - 42|}{\sqrt{(-7)^2 + 6^2 + (-6)^2}} \] Berechnung: \[ = \frac{|-49 + 6 - 36 - 42|}{\sqrt{49 + 36 + 36}} = \frac{|-121|}{\sqrt{121}} = \frac{121}{11} = 11 \] Nun einen Lotfußpunkt \( L \) zu bestimmen, benötigen wir den Richtungsvektor der Normale der Ebene, welcher \((-7, 6, -6)\) ist. Die Lotgerade führt durch den Punkt \( P \) in Richtung des Normalenvektors: Die Gleichung der Lotgeraden \( L(t) = P + t \cdot N \) mit \( N = (-7, 6, -6) \): \[ L(t) = (7, 1, 6) + t \cdot (-7, 6, -6) \] Jetzt setzen wir \( L(t) \) in die Ebenengleichung ein, um den Schnittpunkt zu finden: \[ -7(7 - 7t) + 6(1 + 6t) - 6(6 - 6t) = 42 \] \[ -49 + 49t + 6 + 36t - 36 + 36t = 42 \] \[ 121t - 79 = 42 \] \[ 121t = 121 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \] Setzen wir \( t = 1 \) in \( L(t) \): \[ L(1) = (7 - 7, 1 + 6, 6 - 6) = (0, 7, 0) \] Also ist der Lotfußpunkt \( L(0|7|0) \).