Sea el polinomio \[ P(x)=\left(4 x^{2}-56 x+172\right) x-120 \] con \( x \in \mathrm{Q} \). Del siguiente listado, elegir la u'nica afirmaci'on falsa. (a) \( x=1 \) es una raiz racional de \( P(x) \). 2 (b) \( x=10 \) es una raiz racional de \( P(x) \). (c) \( P(x) \) es un polinomio de grado 3 , y tiene u'nicamente dos raices racionales. (d) \( P(-1.5)=-517.5 \) y \( P(-2.5)=-962.5 \)

Para determinar cuál afirmación es falsa, primero calculamos el polinomio \( P(x) \): \[ P(x) = (4x^2 - 56x + 172)x - 120 = 4x^3 - 56x^2 + 172x - 120. \] Ahora procedemos a analizar cada afirmación. (a) Para verificar si \( x=1 \) es una raíz, evaluamos \( P(1) \): \[ P(1) = 4(1)^3 - 56(1)^2 + 172(1) - 120 = 4 - 56 + 172 - 120 = 0.\ \text{Por lo tanto, } x=1 \text{ es una raíz.} \] (b) Para verificar si \( x=10 \) es una raíz, evaluamos \( P(10) \): \[ P(10) = 4(10)^3 - 56(10)^2 + 172(10) - 120 = 4000 - 5600 + 1720 - 120 = 0.\ \text{Por lo tanto, } x=10 \text{ también es una raíz.} \] (c) Confirmamos que \( P(x) \) es un polinomio de grado 3. Debemos encontrar las raíces. Hasta ahora sabemos que hay al menos dos raíces racionales \( x=1 \) y \( x=10 \). (d) Evaluamos \( P(-1.5) \) y \( P(-2.5) \): \[ P(-1.5) = 4(-1.5)^3 - 56(-1.5)^2 + 172(-1.5) - 120 = -13.5 - 126 + (-258) - 120 = -517.5, \] \[ P(-2.5) = 4(-2.5)^3 - 56(-2.5)^2 + 172(-2.5) - 120 = -62.5 - 350 + (-430) - 120 = -962.5. \] Todas las afirmaciones (a), (b), (c), y (d) resultan verdaderas excepto la afirmación (c) que dice que \( P(x) \) tiene únicamente dos raíces racionales, que resulta ser **falsa** porque tiene, al menos, tres raíces si consideramos las raíces no racionales. Por lo tanto, la afirmación falsa es: (c) \( P(x) \) es un polinomio de grado 3 , y tiene únicamente dos raíces racionales.