Eiercicios Obtén las soluciones para $$ x $$, factoriza si es necesario. 1. $$ 4 x^{2}-2 x^{2}-3 x-7 x=0 $$ 4. $$ (4 x-8)(6 x-3)=0 $$ 2. $$ x^{2}-3 x-10=0 $$ 5. $$ 2 x^{2}+5 x=12 $$ 3. $$ 3 x^{2}-12 x+9=0 $$ 6. $$ 4 x^{2}-40 x+100=0 $$ $$ 6.4 x-40=-40=-2 $$ $$ 2 x \rightarrow-10=2 $$ $$ 2 x \longrightarrow-10 $$ $$ (2 x-10)(2 x-10 $$

Question

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Claro, a continuación se presentan las soluciones para cada uno de los ejercicios propuestos, incluyendo la factorización cuando es necesario.

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### **Ejercicio 1**

**Ecuación:**
$$ 4x^{2} - 2x^{2} - 3x - 7x = 0 $$

**Resolución:**
1. **Simplificar la ecuación:**
   $$
   (4x^{2} - 2x^{2}) + (-3x - 7x) = 0 \
   2x^{2} - 10x = 0
   $$

2. **Factorizar:**
   $$
   2x(x - 5) = 0
   $$

3. **Encontrar las soluciones:**
   $$
   2x = 0 \Rightarrow x = 0 \
   x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5
   $$

**Soluciones:**
$$ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 5 $$

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### **Ejercicio 2**

**Ecuación:**
$$ x^{2} - 3x - 10 = 0 $$

**Resolución:**
1. **Factorizar:**
   Buscamos dos números que al multiplicarse den $$-10$$ y al sumarse den $$-3$$. Estos números son $$5$$ y $$-2$$.

$$
   (x - 5)(x + 2) = 0
   $$

2. **Encontrar las soluciones:**
   $$
   x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \
   x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2
   $$

**Soluciones:**
$$ x = 5 \quad \text{y} \quad x = -2 $$

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### **Ejercicio 3**

**Ecuación:**
$$ 3x^{2} - 12x + 9 = 0 $$

**Resolución:**
1. **Factorizar sacando el factor común:**
   $$
   3(x^{2} - 4x + 3) = 0
   $$

2. **Factorizar el trinomio dentro del paréntesis:**
   Buscamos dos números que al multiplicarse den $$3$$ y al sumarse den $$-4$$. Estos números son $$-1$$ y $$-3$$.

$$
   3(x - 1)(x - 3) = 0
   $$

3. **Encontrar las soluciones:**
   $$
   x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \
   x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3
   $$

**Soluciones:**
$$ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3 $$

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### **Ejercicio 4**

**Ecuación:**
$$ (4x - 8)(6x - 3) = 0 $$

**Resolución:**
1. **Resolver cada factor por separado:**
   
   - **Primer factor:**
     $$
     4x - 8 = 0 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2
     $$
   
   - **Segundo factor:**
     $$
     6x - 3 = 0 \Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
     $$

**Soluciones:**
$$ x = 2 \quad \text{y} \quad x = \frac{1}{2} $$

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### **Ejercicio 5**

**Ecuación:**
$$ 2x^{2} + 5x = 12 $$

**Resolución:**
1. **Llevar todos los términos a un lado de la ecuación:**
   $$
   2x^{2} + 5x - 12 = 0
   $$

2. **Factorizar:**
   Buscamos dos números que al multiplicarse den $$-24$$ (producto de $$2$$ y $$-12$$) y al sumarse den $$5$$. Estos números son $$8$$ y $$-3$$.

$$
   2x^{2} + 8x - 3x - 12 = 0 \
   (2x^{2} + 8x) + (-3x - 12) = 0 \
   2x(x + 4) - 3(x + 4) = 0 \
   (x + 4)(2x - 3) = 0
   $$

3. **Encontrar las soluciones:**
   $$
   x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \
   2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}
   $$

**Soluciones:**
$$ x = -4 \quad \text{y} \quad x = \frac{3}{2} $$

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### **Ejercicio 6**

**Ecuación:**
$$ 4x^{2} - 40x + 100 = 0 $$

**Resolución:**
1. **Factorizar sacando el factor común:**
   $$
   4(x^{2} - 10x + 25) = 0
   $$

2. **Factorizar el trinomio dentro del paréntesis:**
   Observamos que $$x^{2} - 10x + 25$$ es un trinomio cuadrado perfecto.

$$
   x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2}
   $$

Por lo tanto:
   $$
   4(x - 5)^{2} = 0
   $$

3. **Encontrar las soluciones:**
   $$
   (x - 5)^{2} = 0 \Rightarrow x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5
   $$

**Nota:** La solución $$x = 5$$ es una raíz doble.

**Soluciones:**
$$ x = 5 \quad \text{(raíz doble)} $$

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Espero que estas soluciones sean de ayuda. Si tienes alguna otra duda o necesitas más ejercicios resueltos, no dudes en decírmelo.
**Soluciones para los Ejercicios:** 1. **Ejercicio 1:** $$ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 5 $$ 2. **Ejercicio 2:** $$ x = 5 \quad \text{y} \quad x = -2 $$ 3. **Ejercicio 3:** $$ x = 1 \quad \text{y} \quad x = 3 $$ 4. **Ejercicio 4:** $$ x = 2 \quad \text{y} \quad x = \frac{1}{2} $$ 5. **Ejercicio 5:** $$ x = -4 \quad \text{y} \quad x = \frac{3}{2} $$ 6. **Ejercicio 6:** $$ x = 5 \quad \text{(raíz doble)} $$ Si tienes más preguntas o necesitas ayuda con otros ejercicios, no dudes en preguntar.

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