3. $$ F(y)=\int_{0}^{1}\left(y^{\prime 2}-2 y^{2}-2 y^{\prime}+4 x y\right) e^{3 x} $$ $$ y(0)=e, y(1)=2 $$ $$ G\left(x, y, y^{\prime}\right)=\left(y^{\prime 2}-2 y^{2}-2 y^{\prime}+4 x y\right) e^{3 x} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a găsi funcția $$ y(x) $$ care minimizează funcționalul dat și satisface condițiile de frontieră, vom parcurge următorii pași:

## 1. Definirea Funcționalului

Funcționalul dat este:
$$
F(y) = \int_{0}^{1} \left( y'^{2} - 2 y^{2} - 2 y' + 4 x y \right) e^{3x} \, dx
$$
cu condițiile de frontieră:
$$
y(0) = e, \quad y(1) = 2
$$
Funcția integrandă este:
$$
G(x, y, y') = \left( y'^{2} - 2 y^{2} - 2 y' + 4 x y \right) e^{3x}
$$

## 2. Ecuația lui Euler-Lagrange

Pentru a minimiza funcționalul $$ F(y) $$, trebuie să derivăm ecuația lui Euler-Lagrange:
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial G}{\partial y'} \right) - \frac{\partial G}{\partial y} = 0
$$

Calculăm derivările parțiale necesare:

### a. Calculul $$ \frac{\partial G}{\partial y'} $$
$$
\frac{\partial G}{\partial y'} = \left( 2 y' - 2 \right) e^{3x}
$$

### b. Calculul $$ \frac{\partial G}{\partial y} $$
$$
\frac{\partial G}{\partial y} = \left( -4 y + 4 x \right) e^{3x}
$$

### c. Derivata totală a $$ \frac{\partial G}{\partial y'} $$ în raport cu $$ x $$
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{\partial G}{\partial y'} \right) = \frac{d}{dx} \left( (2 y' - 2) e^{3x} \right) = (2 y'' ) e^{3x} + (2 y' - 2) \cdot 3 e^{3x} = 2 y'' e^{3x} + 6 y' e^{3x} - 6 e^{3x}
$$

### d. Înlocuirea în ecuația lui Euler-Lagrange
$$
2 y'' e^{3x} + 6 y' e^{3x} - 6 e^{3x} - (-4 y + 4 x) e^{3x} = 0
$$
Simplificăm prin împărțirea la $$ e^{3x} $$:
$$
2 y'' + 6 y' - 6 + 4 y - 4 x = 0
$$
Simplificăm termenii:
$$
2 y'' + 6 y' + 4 y = 6 + 4 x
$$
Împărțim întreaga ecuație la 2:
$$
y'' + 3 y' + 2 y = 3 + 2 x
$$

## 3. Soluționarea Ecuației Diferențiale

Ecuația diferențială obținută este:
$$
y'' + 3 y' + 2 y = 3 + 2 x
$$

Aceasta este o ecuație diferențială liniară neomogena cu coeficienți constanți. Soluția generală este suma soluției complementare $$ y_c $$ și a soluției particulare $$ y_p $$.

### a. Soluția Complementară ($$ y_c $$)

Rezolvăm ecuația omogenă asociată:
$$
y'' + 3 y' + 2 y = 0
$$
Caracteristica ecuației este:
$$
r^{2} + 3 r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}
$$
Deci, rădăcinile sunt $$ r_1 = -1 $$ și $$ r_2 = -2 $$. Astfel, soluția complementară este:
$$
y_c = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}
$$

### b. Soluția Particulară ($$ y_p $$)

Pentru termenii de dreapta $$ 3 + 2x $$, presupunem o soluție particulară de forma:
$$
y_p = A x + B
$$
Derivăm:
$$
y_p' = A, \quad y_p'' = 0
$$
Substituim în ecuația originală:
$$
0 + 3 A + 2 (A x + B) = 3 + 2 x
$$
Simplificăm:
$$
3 A + 2 A x + 2 B = 3 + 2 x
$$
Egalăm coeficienții termenilor similari:
$$
2 A = 2 \quad \Rightarrow \quad A = 1
$$
$$
3 A + 2 B = 3 \quad \Rightarrow \quad 3(1) + 2 B = 3 \quad \Rightarrow \quad 2 B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 0
$$
Astfel, soluția particulară este:
$$
y_p = x
$$

### c. Soluția Generală

Combinăm soluțiile complementare și particulară:
$$
y(x) = y_c + y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + x
$$

## 4. Aplicarea Condițiilor de Frontieră

Aplicăm condițiile $$ y(0) = e $$ și $$ y(1) = 2 $$ pentru a determina constantele $$ C_1 $$ și $$ C_2 $$.

### a. Condiția la $$ x = 0 $$:
$$
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} + 0 = C_1 + C_2 = e
$$
$$
C_1 + C_2 = e \quad \text{(Ecuatia 1)}
$$

### b. Condiția la $$ x = 1 $$:
$$
y(1) = C_1 e^{-1} + C_2 e^{-2} + 1 = 2
$$
$$
C_1 e^{-1} + C_2 e^{-2} = 1 \quad \text{(Ecuatia 2)}
$$

### c. Rezolvarea Sistemului de Ecuații

Avem sistemul:
$$
\begin{cases}
C_1 + C_2 = e \
C_1 e^{-1} + C_2 e^{-2} = 1
\end{cases}
$$
Rezolvăm pentru $$ C_1 $$ și $$ C_2 $$.

Din Ecuația 1:
$$
C_2 = e - C_1
$$
Înlocuim în Ecuația 2:
$$
C_1 e^{-1} + (e - C_1) e^{-2} = 1
$$
$$
C_1 e^{-1} + e e^{-2} - C_1 e^{-2} = 1
$$
Factorizăm $$ C_1 $$:
$$
C_1 (e^{-1} - e^{-2}) + e^{-1} = 1
$$
Deoarece $$ e e^{-2} = e^{-1} $$.

Simplificăm:
$$
C_1 e^{-1} (1 - e^{-1}) + e^{-1} = 1
$$
Să calculăm:
$$
C_1 e^{-1} (1 - e^{-1}) = 1 - e^{-1}
$$
$$
C_1 e^{-1} = \frac{1 - e^{-1}}{1 - e^{-1}} = 1
$$
$$
C_1 = e
$$
Apoi, din Ecuația 1:
$$
C_2 = e - e = 0
$$

## 5. Soluția Finală

Substituim valorile constantei:
$$
y(x) = e e^{-x} + 0 \cdot e^{-2x} + x = e^{1 - x} + x
$$

## 6. Concluzie

Funcția care minimizează funcționalul dat și satisface condițiile de frontieră este:
$$
y(x) = e^{1 - x} + x
$$
The solution to the functional is $$ y(x) = e^{1 - x} + x $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions