25. Boné par les cylindres $$ z=x^{2}, y=x^{2} $$ et les plans $$ z=0, y=4 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Considérons le solide défini par les surfaces (ou « cylindres »)  
$$
z=x^{2} \quad \text{et} \quad y=x^{2},
$$
et les plans  
$$
z=0 \quad \text{et} \quad y=4.
$$

Le solide est ainsi borné dans la direction $$z$$ entre le plan $$z=0$$ et la surface $$z=x^{2}$$ (cylindre vertical dans la direction $$y$$) et dans la direction $$y$$ entre la surface $$y=x^{2}$$ (cylindre dans la direction $$z$$) et le plan $$y=4$$.

Afin de décrire la région dans $$\mathbb{R}^{3}$$, on peut choisir l’ordre d’intégration suivant $$(dz\,dy\,dx)$$. Pour un point de la région, les bornes sont :

- Pour $$z$$ : $$z$$ varie entre $$z=0$$ et $$z=x^{2}$$,
- Pour $$y$$ : $$y$$ varie entre $$y=x^{2}$$ et $$y=4$$,
- Pour $$x$$ : étant donné que $$y=x^{2}$$ et $$y\le 4$$, on a $$x^{2}\le 4$$ donc $$ -2\le x\le 2$$.

Le volume $$V$$ du solide s’exprime par :
$$
V=\int_{x=-2}^{2}\int_{y=x^{2}}^{4}\int_{z=0}^{x^{2}}dz\,dy\,dx.
$$

La résolution se fait de la manière suivante :

1. Intégration par rapport à $$z$$ :
   $$
   \int_{z=0}^{x^{2}}dz = x^{2}.
   $$
   
2. Cette intégrale se substitue dans l’intégrale en $$y$$ :
   $$
   \int_{y=x^{2}}^{4}x^{2}\,dy = x^{2}\Bigl[y\Bigr]_{y=x^{2}}^{4} = x^{2}\,(4 - x^{2}).
   $$
   
3. L’intégrale finale en $$x$$ est alors :
   $$
   V=\int_{x=-2}^{2}x^{2}(4-x^{2})dx.
   $$
   
Notons que la fonction $$x^{2}(4-x^{2})$$ est paire, c’est-à-dire symétrique par rapport à $$x=0$$. Nous pouvons donc écrire :
$$
V=2\int_{0}^{2}x^{2}(4-x^{2})dx.
$$

Développons l’intégrande :
$$
x^{2}(4-x^{2})= 4x^{2}-x^{4}.
$$

L’intégrale devient :
$$
V=2\int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx.
$$

Calculons l’intégrale :
$$
\int_{0}^{2}4x^{2}dx = 4\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 4\cdot\frac{8}{3} = \frac{32}{3},
$$
et
$$
\int_{0}^{2}x^{4}dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}.
$$

Ainsi,
$$
\int_{0}^{2}(4x^{2}-x^{4})dx = \frac{32}{3}-\frac{32}{5} = 32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = 32\cdot\frac{5-3}{15} = 32\cdot\frac{2}{15} = \frac{64}{15}.
$$

En multipliant par $$2$$ :
$$
V=2\cdot\frac{64}{15}=\frac{128}{15}.
$$

La valeur du volume du solide est donc :
$$
\boxed{\frac{128}{15}}.
$$
Le volume du solide est $$ \frac{128}{15} $$.

Boné par les cylindres et les plans

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