$$ \begin{array}{ll} ext { (a) } \lim _{x ightarrow 1}\left(\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1} ight), & ext { (b) } \lim _{x ightarrow 2^{ \pm}} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4 x+4} \ ext { (c) } \lim _{x ightarrow 0^{ \pm}} \frac{3 x^{2}-x}{x^{5}+2 x^{2}} & ext { (d) } \lim _{x ightarrow+\infty} \frac{x^{5 / 2}-2 x \sqrt{x}+1}{2 x^{5 / 2}-1} \ ext { (e) } \lim _{x ightarrow+\infty} \frac{-2 x^{3}+x+1}{x^{2}+3 x}, & ext { (f) } \lim _{x ightarrow-\infty} \frac{3 x^{4}+9 x-1}{-x^{4}+6 x^{3}+1}\end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{ll}	ext { (a) } \lim _{x ightarrow 1}\left(\frac{x^{2}-1}{x^{3}-1}ight), & 	ext { (b) } \lim _{x ightarrow 2^{ \pm}} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-4 x+4} \ 	ext { (c) } \lim _{x ightarrow 0^{ \pm}} \frac{3 x^{2}-x}{x^{5}+2 x^{2}} & 	ext { (d) } \lim _{x ightarrow+\infty} \frac{x^{5 / 2}-2 x \sqrt{x}+1}{2 x^{5 / 2}-1} \ 	ext { (e) } \lim _{x ightarrow+\infty} \frac{-2 x^{3}+x+1}{x^{2}+3 x}, & 	ext { (f) } \lim _{x ightarrow-\infty} \frac{3 x^{4}+9 x-1}{-x^{4}+6 x^{3}+1}\end{array} $$

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**(a) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^3-1}$$:**

Si fattorizzano numeratore e denominatore:

$$
x^2-1 = (x-1)(x+1)
$$
$$
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
$$

Per $$x \neq 1$$ si semplifica rimuovendo il fattore $$(x-1)$$:

$$
\frac{x^2-1}{x^3-1} = \frac{x+1}{x^2+x+1}.
$$

Sostituendo $$x=1$$:

$$
\frac{1+1}{1^2+1+1}=\frac{2}{3}.
$$

Quindi, il limite è $$\frac{2}{3}$$.

---

**(b) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to 2^\pm}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}$$:**

Si fattorizzano entrambi i polinomi:

$$
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3),
$$
$$
x^2-4x+4 = (x-2)^2.
$$

Per $$x\neq2$$ si semplifica:

$$
\frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{x-3}{x-2}.
$$

Analizziamo il segno al variare di $$x$$ tendente a $$2$$:

- Per $$x\to2^-$$ (approccio da sinistra):  
  Il denominatore $$x-2$$ è negativo (piccolo in modulo). Il numeratore $$x-3$$ tende a $$2-3=-1$$ (negativo). Quindi il rapporto, negativo diviso negativo, tende a $$+\infty$$.

- Per $$x\to2^+$$ (approccio da destra):  
  Il denominatore $$x-2$$ è positivo (piccolo). Il numeratore $$x-3 \to -1$$ (ancora negativo). Quindi il rapporto tende a $$-\infty$$.

Pertanto:

$$
\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}=+\infty,\quad \lim_{x\to2^+}\frac{x^2-5x+6}{x^2-4x+4}=-\infty.
$$

---

**(c) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to0^\pm}\frac{3x^2-x}{x^5+2x^2}$$:**

Si semplifica estraendo il fattore comune:

Numeratore:

$$
3x^2-x = x(3x-1).
$$

Denomintore:

$$
x^5+2x^2 = x^2(x^3+2).
$$

Quindi:

$$
\frac{3x^2-x}{x^5+2x^2} = \frac{x(3x-1)}{x^2(x^3+2)} = \frac{3x-1}{x(x^3+2)}.
$$

Per $$x\to0$$, si osserva che $$x^3+2\to2$$. Pertanto, per valori piccoli di $$x$$:

$$
\frac{3x-1}{x(x^3+2)} \approx \frac{3x-1}{2x}.
$$

Scomponiamo ulteriormente:

$$
\frac{3x-1}{2x} = \frac{3x}{2x} - \frac{1}{2x} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2x}.
$$

- Per $$x\to0^+$$:  
  $$\frac{1}{2x}\to +\infty$$, dunque l’espressione tende a $$\frac{3}{2} - (+\infty) = -\infty$$.

- Per $$x\to0^-$$:  
  $$\frac{1}{2x}\to -\infty$$, dunque l’espressione tende a $$\frac{3}{2} - (-\infty) = +\infty$$.

Pertanto:

$$
\lim_{x\to0^+}\frac{3x^2-x}{x^5+2x^2}=-\infty,\quad \lim_{x\to0^-}\frac{3x^2-x}{x^5+2x^2}=+\infty.
$$

---

**(d) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{5/2}-2x\sqrt{x}+1}{2x^{5/2}-1}$$:**

Osserviamo che $$\sqrt{x} = x^{1/2}$$, quindi il numeratore si scrive:

$$
x^{5/2}-2x\sqrt{x}+1 = x^{5/2}-2x^{3/2}+1.
$$

Il termine dominante in numeratore e denominatore è $$x^{5/2}$$. Si divide numeratore e denominatore per $$x^{5/2}$$:

$$
\frac{x^{5/2}\left(1-\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{5/2}}\right)}{x^{5/2}\left(2-\frac{1}{x^{5/2}}\right)} = \frac{1-\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{5/2}}}{2-\frac{1}{x^{5/2}}}.
$$

Al tendere $$x\to+\infty$$, i termini con denominatori $$x$$ e $$x^{5/2}$$ si annullano:

$$
\frac{1-0+0}{2-0} = \frac{1}{2}.
$$

Il limite è $$\frac{1}{2}$$.

---

**(e) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3+x+1}{x^2+3x}$$:**

I gradi dei polinomi sono:
- Numeratore: grado 3,
- Denomintore: grado 2.

Dividendo numeratore e denominatore per $$x^2$$:

$$
\frac{-2x^3+x+1}{x^2+3x} = \frac{-2x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+ \frac{3}{x}}.
$$

Quando $$x\to+\infty$$, $$\frac{1}{x}$$ e $$\frac{1}{x^2}$$ tendono a $$0$$:

$$
\approx \frac{-2x}{1}.
$$

Essendo $$-2x$$ divergente negativamente, il limite è:

$$
-\infty.
$$

---

**(f) Calcolo del limite $$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^4+9x-1}{-x^4+6x^3+1}$$:**

I termini dominanti sono quelli di massimo grado $$4$$:

$$
\frac{3x^4+(\text{minori})}{-x^4+(\text{minori})} \approx \frac{3x^4}{-x^4} = -3.
$$

Pertanto, il limite è $$-3$$.

---

**Risposte finali:**

(a) $$\frac{2}{3}$$  
(b) Per $$x\to2^-$$ $$+\infty$$, per $$x\to2^+$$ $$-\infty$$  
(c) Per $$x\to0^+$$ $$-\infty$$, per $$x\to0^-$$ $$+\infty$$  
(d) $$\frac{1}{2}$$  
(e) $$-\infty$$  
(f) $$-3$$
**(a) Il limite è $$\frac{2}{3}$$.** **(b) Per $$x$$ che tende a 2 da sinistra, il limite è $$+\infty$$; da destra, è $$-\infty$$.** **(c) Per $$x$$ che tende a 0 da destra, il limite è $$-\infty$$; da sinistra, è $$+\infty$$.** **(d) Il limite è $$\frac{1}{2}$$.** **(e) Il limite è $$-\infty$$.** **(f) Il limite è $$-3$$.**

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