Calculer la dérivée de \( f(x)=2 x-1+\frac{3}{2 x+5} \). Ecrire la réponse sous forme: \( f^{\prime}(x)=\ldots \) sans développer le dénominateur ni mettre l'expression sous même trait de fraction.

Pour calculer la dérivée de la fonction \( f(x) = 2x - 1 + \frac{3}{2x + 5} \), nous allons dériver chaque terme séparément. 1. La dérivée de \( 2x \) est \( 2 \). 2. La dérivée de \( -1 \) est \( 0 \). 3. Pour le terme \( \frac{3}{2x + 5} \), nous utilisons la règle de dérivation d'une fonction de la forme \( \frac{u}{v} \), où \( u = 3 \) et \( v = 2x + 5 \). La dérivée est donnée par la formule : \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Ici, \( u' = 0 \) et \( v' = 2 \). Donc, la dérivée de \( \frac{3}{2x + 5} \) est : \[ \frac{0 \cdot (2x + 5) - 3 \cdot 2}{(2x + 5)^2} = \frac{-6}{(2x + 5)^2} \] En combinant ces résultats, nous avons : \[ f'(x) = 2 + 0 - \frac{6}{(2x + 5)^2} \] Ainsi, la dérivée de \( f(x) \) est : \[ f'(x) = 2 - \frac{6}{(2x + 5)^2} \]