(1) Hallar la intersección de la recta \( 4 x-y+23=0 \) con la recta \( x-4 y+2=0 \) (2) Hallar la intersección de la recta \( x+2 y-7=0 \) con la recta \( y=\frac{2}{7} x-\frac{3}{7} \) (3) Hallar la ecuación general de la recta que Dasa por \( (-2,5) \) y es perpendicular a la recta por \( (-2,-2) \) y \( (6,1) \) (4) Hallar la ecuación general de la recta que pasa por \( (-2,-3) \) y es paralela a la recta por \( (-5,2) \) y \( (2,-1) \)

Claro, a continuación se resuelven los cuatro problemas planteados: --- ### **1. Hallar la intersección de la recta \( 4x - y + 23 = 0 \) con la recta \( x - 4y + 2 = 0 \).** Para encontrar el punto de intersección de dos rectas, debemos resolver el sistema de ecuaciones formado por ambas. \[ \begin{cases} 4x - y + 23 = 0 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ x - 4y + 2 = 0 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases} \] **Paso 1:** Despejamos una variable en una de las ecuaciones. Por ejemplo, despejamos \( x \) en la Ecuación 2: \[ x = 4y - 2 \] **Paso 2:** Sustituimos \( x \) en la Ecuación 1: \[ 4(4y - 2) - y + 23 = 0 \\ 16y - 8 - y + 23 = 0 \\ 15y + 15 = 0 \\ 15y = -15 \\ y = -1 \] **Paso 3:** Sustituimos \( y = -1 \) en la expresión de \( x \): \[ x = 4(-1) - 2 = -4 - 2 = -6 \] **Punto de intersección:** \((-6, -1)\) --- ### **2. Hallar la intersección de la recta \( x + 2y - 7 = 0 \) con la recta \( y = \frac{2}{7}x - \frac{3}{7} \).** Este es un sistema de dos ecuaciones: \[ \begin{cases} x + 2y - 7 = 0 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ y = \frac{2}{7}x - \frac{3}{7} \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases} \] **Paso 1:** Sustituimos \( y \) de la Ecuación 2 en la Ecuación 1: \[ x + 2\left(\frac{2}{7}x - \frac{3}{7}\right) - 7 = 0 \\ x + \frac{4}{7}x - \frac{6}{7} - 7 = 0 \\ \left(1 + \frac{4}{7}\right)x - \frac{6}{7} - 7 = 0 \\ \frac{11}{7}x - \frac{55}{7} = 0 \\ 11x - 55 = 0 \\ x = 5 \] **Paso 2:** Sustituimos \( x = 5 \) en la Ecuación 2 para encontrar \( y \): \[ y = \frac{2}{7}(5) - \frac{3}{7} = \frac{10}{7} - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} = 1 \] **Punto de intersección:** \((5, 1)\) --- ### **3. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por \((-2, 5)\) y es perpendicular a la recta que pasa por \((-2, -2)\) y \((6, 1)\).** **Paso 1:** Encontramos la pendiente de la recta que pasa por \((-2, -2)\) y \((6, 1)\). \[ m_1 = \frac{1 - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{3}{8} \] **Paso 2:** La pendiente de una recta perpendicular es el negativo inverso: \[ m = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{3}{8}} = -\frac{8}{3} \] **Paso 3:** Usamos la forma punto-pendiente para la recta que pasa por \((-2, 5)\): \[ y - 5 = -\frac{8}{3}(x + 2) \] Multiplicamos ambos lados por 3 para eliminar el denominador: \[ 3(y - 5) = -8(x + 2) \\ 3y - 15 = -8x - 16 \\ 8x + 3y + 1 = 0 \] **Ecuación general de la recta:** \(8x + 3y + 1 = 0\) --- ### **4. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por \((-2, -3)\) y es paralela a la recta que pasa por \((-5, 2)\) y \((2, -1)\).** **Paso 1:** Encontramos la pendiente de la recta que pasa por \((-5, 2)\) y \((2, -1)\). \[ m_1 = \frac{-1 - 2}{2 - (-5)} = \frac{-3}{7} \] **Paso 2:** Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que la pendiente de la recta buscada es \(m = -\frac{3}{7}\). **Paso 3:** Usamos la forma punto-pendiente para la recta que pasa por \((-2, -3)\): \[ y + 3 = -\frac{3}{7}(x + 2) \] Multiplicamos ambos lados por 7 para eliminar el denominador: \[ 7(y + 3) = -3(x + 2) \\ 7y + 21 = -3x - 6 \\ 3x + 7y + 27 = 0 \] **Ecuación general de la recta:** \(3x + 7y + 27 = 0\) --- Estos son los resultados para cada uno de los problemas planteados.