EXERCICE 01 Soit le réel $$ a=-\sqrt{18}+\sqrt{32}+\frac{\sqrt{24}}{2} $$ $$ b=(\sqrt{3}-1)(3+\sqrt{2})-\sqrt{3}(-\sqrt{3}+3) $$ 1. Montrer que $$ a=\sqrt{6}+\sqrt{2} $$ et $$ b=\sqrt{6}-\sqrt{2} $$ 2. Calculer $$ a^{2} $$, puis $$ b^{2} $$ et $$ a^{3} $$ 3. En déduire la valeur $$ 2^{-4} a^{2} b^{2} $$ 4. Calculer la valeur de $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$

Question

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**Exercice 01**

Soient les réels $$ a = -\sqrt{18} + \sqrt{32} + \frac{\sqrt{24}}{2} $$ et 
$$ 
b = (\sqrt{3} - 1)(3 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}(-\sqrt{3} + 3) 
$$

### 1. Montrer que $$ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} $$ et $$ b = \sqrt{6} - \sqrt{2} $$

**Pour $$ a $$:**

Calculons chaque terme de $$ a $$:

$$
\begin{align*}
-\sqrt{18} &= -\sqrt{9 \times 2} = -3\sqrt{2} \
\sqrt{32} &= \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \
\frac{\sqrt{24}}{2} &= \frac{\sqrt{4 \times 6}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \
\end{align*}
$$

En combinant les termes:

$$
a = -3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + \sqrt{6} = ( -3 + 4 )\sqrt{2} + \sqrt{6} = \sqrt{2} + \sqrt{6}
$$

Donc, $$ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} $$.

**Pour $$ b $$:**

Développons les expressions:

$$
\begin{align*}
(\sqrt{3} - 1)(3 + \sqrt{2}) &= \sqrt{3} \times 3 + \sqrt{3} \times \sqrt{2} - 1 \times 3 - 1 \times \sqrt{2} \
&= 3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 - \sqrt{2} \
\end{align*}
$$

$$
\sqrt{3}(-\sqrt{3} + 3) = -\sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times 3 = -3 + 3\sqrt{3}
$$

Maintenant, substituons dans $$ b $$:

$$
b = (3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 - \sqrt{2}) - (-3 + 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3 - \sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{3}
$$

Simplifions:

$$
b = \sqrt{6} - \sqrt{2} = \sqrt{6} - \sqrt{2}
$$

Donc, $$ b = \sqrt{6} - \sqrt{2} $$.

### 2. Calculer $$ a^{2} $$, puis $$ b^{2} $$ et $$ a^{3} $$

**Calcul de $$ a^{2} $$:**

$$
a = \sqrt{6} + \sqrt{2}
$$

$$
a^{2} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^{2} = (\sqrt{6})^{2} + 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 4\sqrt{3}
$$

**Calcul de $$ b^{2} $$:**

$$
b = \sqrt{6} - \sqrt{2}
$$

$$
b^{2} = (\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2} = (\sqrt{6})^{2} - 2 \times \sqrt{6} \times \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}
$$

**Calcul de $$ a^{3} $$:**

$$
a^{3} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^{3}
$$

Utilisons la formule du cube d’une somme :

$$
(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}
$$

Cependant, une méthode plus simple consiste à utiliser $$ a^{3} = a \times a^{2} $$:

$$
a^{3} = (\sqrt{6} + \sqrt{2})(8 + 4\sqrt{3}) = 8\sqrt{6} + 4\sqrt{18} + 8\sqrt{2} + 4\sqrt{6} 
$$

Simplifions les racines carrées :

$$
4\sqrt{18} = 4 \times 3 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2} \
8\sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6} \
8\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \
$$

Donc,

$$
a^{3} = 12\sqrt{6} + 20\sqrt{2}
$$

### 3. En déduire la valeur $$ 2^{-4} a^{2} b^{2} $$

Calculons $$ a^{2} b^{2} $$ :

$$
a^{2} = 8 + 4\sqrt{3} \
b^{2} = 8 - 4\sqrt{3} \
$$

$$
a^{2} b^{2} = (8 + 4\sqrt{3})(8 - 4\sqrt{3}) = 8^{2} - (4\sqrt{3})^{2} = 64 - 48 = 16
$$

Donc,

$$
2^{-4} a^{2} b^{2} = \frac{1}{16} \times 16 = 1
$$

### 4. Calculer la valeur de $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$

Pour calculer $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$, commençons par écrire sous une forme commune :

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}
$$

Nous connaissons $$ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} $$ et $$ b = \sqrt{6} - \sqrt{2} $$, donc :

$$
a + b = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{6} 
$$

Calculons $$ ab $$ :

$$
ab = (\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = (\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 6 - 2 = 4
$$

Ainsi,

$$
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}
$$

**Réponse Finale :**

1. $$ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} $$ et $$ b = \sqrt{6} - \sqrt{2} $$

2. 
$$
a^{2} = 8 + 4\sqrt{3} \
b^{2} = 8 - 4\sqrt{3} \
a^{3} = 12\sqrt{6} + 20\sqrt{2} \
$$

3. $$ 2^{-4} a^{2} b^{2} = 1 $$

4. $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$
1. $$ a = \sqrt{6} + \sqrt{2} $$ et $$ b = \sqrt{6} - \sqrt{2} $$ 2. $$ a^{2} = 8 + 4\sqrt{3} \ b^{2} = 8 - 4\sqrt{3} \ a^{3} = 12\sqrt{6} + 20\sqrt{2} \ $$ 3. $$ 2^{-4} a^{2} b^{2} = 1 $$ 4. $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{\sqrt{6}}{2} $$

EXERCICE 01
Soit le réel

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