EXERCICE 1 - 1 (3 points) Forme canonique et variation Soit la fonction trinôme \( f \) suivante : \( f(x)=2 x^{2}+12 x+53 \). 1) Déterminer la forme canonique de \( f(x) \). 2) En déduire les variations de \( f \) et dresser le tableau de variation de \( f \). 3) D'après le tableau de variation de \( f \), la parabole représentant \( f \) coupe-t-elle l'axe des abscisses? Pourquoi?

Pour déterminer la forme canonique de la fonction trinôme donnée, nous allons compléter le carré. On a : 1) \( f(x) = 2(x^2 + 6x) + 53 \). On complète le carré dans les parenthèses : \( x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9 \). Ainsi, \( f(x) = 2((x + 3)^2 - 9) + 53 = 2(x + 3)^2 - 18 + 53 = 2(x + 3)^2 + 35 \). Donc, la forme canonique est \( f(x) = 2(x + 3)^2 + 35 \). 2) Pour déterminer les variations de \( f \), nous remarquons que le coefficient devant \( (x + 3)^2 \) est positif (2), ce qui indique que la parabole est ouverte vers le haut. Le sommet de la parabole est le point \( (-3, 35) \), qui est aussi le minimum de \( f \). Ainsi, \( f(x) \) atteint sa valeur minimale à \( x = -3 \) et croît de chaque côté : - Pour \( x < -3 \), \( f(x) \) décroît. - Pour \( x > -3 \), \( f(x) \) croît. Tableau de variations : \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -3 & & +\infty \\ \hline f(x) & +\infty & 35 & & +\infty \\ \hline \text{Variation} & \searrow & 0 & \nearrow & \\ \hline \end{array} \] 3) D'après le tableau de variation et la forme canonique, le minimum de \( f(x) \) est 35, qui est positif. Comme la parabole atteint un minimum mais ne descend jamais en dessous de zéro, elle ne coupe pas l'axe des abscisses. En d'autres termes, il n’y a pas de solution réelle à l'équation \( f(x) = 0 \). La parabole reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses !